Encontre a solução geral da EDO exata de 1 ^a ordem de valor inicial dado:
d yd x & =x y^2-cos (x) sen(x)y(1-x^2) y(0) & =2

Passo 1

O enunciado pede pra resolver a EDO de primeira ordem exata
dydx=x y^2-cos(x)sin(x)y(1-x^2)
com condição inicial y(0)=2. O conteúdo é equações diferenciais exatas e vamos precisar testar a exatidão, encontrar a potencial Phi(x,y) e usar a condição inicial.

Passo 2

Primeiro reescrevemos a EDO na forma M(x,y),dx + N(x,y),dy=0. Multiplicando ambos os lados por dx e reorganizando:
-l(x y^2-cos(x)sin(x)r),dx + y(1-x^2),dy=0
Logo
M(x,y)=-x y^2+cos(x)sin(x), N(x,y)=y(1-x^2)
Calculamos
partial Mpartial y=-2x y, partial Npartial x=-2x y
Como são iguais, a equação é exata.

Passo 3

Como é exata, existe Phi(x,y) tal que
partial Phipartial x=M(x,y)=-x y^2+cos(x)sin(x)
Integramos em relação a x, tratando y como constante:
Phi(x,y)=integral(-x y^2),dx+integralcos(x)sin(x),dx + h(y)
Phi(x,y)=-tfrac12 x^2y^2+tfrac12sin^2x + h(y)

Passo 4

Agora impomos
partial Phipartial y=-x^2y + h'(y)
e isso deve ser igual a N(x,y)=y(1-x^2)=y - x^2y. Logo
h'(y)=yRightarrow h(y)=tfrac12y^2
Assim
Phi(x,y)=-tfrac12 x^2y^2+tfrac12sin^2x+tfrac12y^2

Passo 5

A solução implícita é
Phi(x,y)=CLeftrightarrow -x^2y^2+sin^2x+y^2=C'
Aplicando y(0)=2 em x=0 0+0+4=C', ou seja C'=4. Portanto
y^2(1-x^2)+sin^2x=4

Passo 6

Para obter a forma explícita, isolamos y:
y^2=4-sin^2x1-x^2,
e como y(0)=2>0, tomamos o sinal positivo:

Passo 7

y=raiz4-sin^2x1-x^2

Resposta

y=raiz4-sin^2x1-x^2

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