Encontre a solução geral da EDO linear de 1 ordem:
y^prime+2t y=t

Passo 1

Temos a EDO
y' + 2ty = t
Trata-se de uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante. Precisamos identificar os coeficientes de forma padrão y' + P(t)y = Q(t), ou seja, P(t)=tfrac2t e Q(t)=t.

Passo 2

Calcular o fator integrante:
mu(t) = e^integral P(t),dt = e^integral 2t,dt = e^2ln|t| = t^2
Aqui consideramos tneq0.

Passo 3

Multiplicar a EDO original por mu(t)=t^2. Isso nos dá
t^2y' + 2t,y = t^3
Repare que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto t^2y, ou seja, (t^2y)'.

Passo 4

Integrar ambos os lados em relação a t:
integral (t^2y)',dt = integral t^3,dt
Isso leva a
t^2y = t^44 + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Isolar y dividindo por t^2:
y = t^24 + C,t^-2

Resposta

A solução geral é
y(t) = t^24 + C,t^-2,
com C constante arbitrária e tneq0.

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