Encontre a solução geral da EDO homogênea de
ordem de valor inicial dado:
Passo 1
O enunciado nos dá a EDO homogênea de primeira ordem
com condição inicial
. Vamos usar a substituição
, típica para EDOs homogêneas.
Passo 2
Com
segue
substituindo em
.
Passo 3
Depois de substituir temos
que simplifica para
$$
v2\bigl(v+x\tfrac{dv}{dx}\bigr)=v3-1
x\frac{dv}{dx}=-\frac{1}{v^2}.
$$
Passo 4
Essa equação em
é separável. Separamos e integramos:
resultando em
ou ainda
Passo 5
Voltando a
(já que
) obtemos a solução geral implícita
ou
Passo 6
Aplicando a condição inicial
dá
Logo a solução particular é obtida substituindo
.