Encontre a solução geral da EDO homogênea de 1^a ordem de valor inicial dado:
x y^2 y^prime & =y^3-x^3 y(1) & =2

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO homogênea de primeira ordem
x,y^2dydx=y^3-x^3
com condição inicial y(1)=2. Vamos usar a substituição y=v x, típica para EDOs homogêneas.

Passo 2

Com y=v x segue
dydx=v+xdvdx
substituindo em x y^2tfracdydx=y^3-x^3.

Passo 3

Depois de substituir temos
x(vx)^2l(v+xtfracdvdxr)=(v x)^3-x^3
que simplifica para
$$
v2\bigl(v+x\tfrac{dv}{dx}\bigr)=v3-1 v^2l(v+xtfracdvdxr)=v^3-1í
x\frac{dv}{dx}=-\frac{1}{v^2}.
$$

Passo 4

Essa equação em v é separável. Separamos e integramos:
integral v^2,dv=-integraldxx
resultando em
v^33=-ln|x|+C
ou ainda
v^3=C1-3ln|x|

Passo 5

Voltando a y (já que v=y/x) obtemos a solução geral implícita
y^3x^3=C1-3ln|x|,
ou
y^3=x^3l(C1-3ln|x|r)

Passo 6

Aplicando a condição inicial y(1)=2
2^3=1^3(C1-3ln1)implies C1=8
Logo a solução particular é obtida substituindo C1=8.

Resposta

y=xl(8-3ln|x|r)^1/3

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