Resolva a equação diferencial
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{dt}}+\frac{2}{\mathrm{t}} y=\mathrm{t}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de 1ª ordem \displaystyle \frac{dy}{dt}+\frac{2}{t}\,y = t.
O método adequado aqui é reconhecer que se trata de uma equação linear na forma \displaystyle \frac{dy}{dt}+P(t)\,y = Q(t)
e usar o fator integrante.

Passo 2

Identificamos P(t)=\tfrac{2}{t}. Calculamos o fator integrante
\mu(t)=\exp\Bigl(\int P(t)\,dt\Bigr) =\exp\Bigl(\int \tfrac{2}{t}\,dt\Bigr) =\exp\bigl(2\ln t\bigr) =t^2.

Passo 3

Multiplicamos toda a equação por \mu(t)=t^2, obtendo
t^2\frac{dy}{dt}+2t\,y = t^3.
Note que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto t^2y, ou seja,
\frac{d}{dt}\bigl(t^2y\bigr)=t^3.

Passo 4

Integramos ambos os lados em t:
\int \frac{d}{dt}\bigl(t^2y\bigr)\,dt =\int t^3\,dt \quad\Longrightarrow\quad t^2y = \frac{t^4}{4} + C.
Isolando y em função de t resulta
y(t) = \frac{t^2}{4} + \frac{C}{t^2}.

Resposta

y(t) = \frac{t^2}{4} + \frac{C}{t^2}.

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