Encontre a solução geral da EDO linear de 1 ordem:
y^prime+(1-2 t) y=t e^-t

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO linear de 1ª ordem y'+(1-2t)y=t e^-t. O conteúdo que vamos usar inclui a ideia de fator integrante para equações lineares de primeira ordem.

Passo 2

Identificamos P(t)=1-2t e Q(t)=t e^-t. O fator integrante é dado por mu(t)=expl(integral P(t),dtr)=expl(integral(1-2t),dtr)=exp(t-t^2).

Passo 3

Multiplicamos a equação original por mu(t). O lado esquerdo vira a derivada do produto ymu(t):
ddtl(y,e^t-t^2r)=t e^-t,e^t-t^2=t e^-t^2

Passo 4

Agora integramos ambos os lados em relação a t. Do lado esquerdo resta y,e^t-t^2 e do direito temos
integral t e^-t^2,dt=-tfrac12 e^-t^2+C,
pois a derivada de -tfrac12 e^-t^2) é t e^-t^2.

Passo 5

Para encontrar y, basta isolar:
y,e^t-t^2=-tfrac12 e^-t^2+C $$
y=\bigl(-\tfrac12 e{-t2}+C\bigr)e{t2-t}=-\tfrac12e^{-t}+C e{t2-t}.
$$

Resposta

y(t)=C e^t^2-t-12e^-t

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