Encontre a solução geral da EDO separável de 1^a ordem de valor inicial dado:
y^prime & =(1-2 t) y^2 y(0) & =-12

Passo 1

Temos uma equação diferencial de primeira ordem e separável, dada por y'=(1-2t)y^2 com condição inicial y(0)=-12. Para resolver, vamos usar separação de variáveis e integração.

Passo 2

Separamos as variáveis colocando todos os termos em y de um lado e em t do outro. Assim obtemos:
dyy^2 = (1-2t),dt

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
integral y^-2,dy = integral (1-2t),dt
O resultado é:
-1y = t - t^2 + C
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Para isolar y, invertemos e reorganizamos a constante. Definindo C'=-C, ficamos com:
1y = t^2 - t + C'
Daí segue que y = 1t^2 - t + C'.

Passo 5

Aplicando a condição inicial y(0)=-12 na expressão geral, temos:
-12 = 1C'
Isso implica C'=-2, determinando a solução particular.

Resposta

[
y(t) = \frac{1}{t^2 - t - 2}
]

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