Encontre a solução geral da EDO não linear t y^prime prime(t)-(t+1) y^prime(t)+y(t)=t^2 sabendo que y1(t)=e^t e y2(t)=t+1 são soluções fundamentais da homogênea associada.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO não homogênea de segunda ordem com coeficientes variáveis
t y’’(t) – (t+1)y’(t) + y(t) = t²
sabendo que as soluções fundamentais da homogênea são y₁(t)=eᵗ e y₂(t)=t+1. Vamos usar variação de parâmetros para montar uma solução particular e depois somar à homogênea.

Passo 2

Divide-se a equação original por t (assumindo t≠0) para colocá-la na forma padrão y’’+p(t)y’+q(t)y=r(t). Isso dá:
y'' - t+1ty' + 1t y = t
Aqui, p(t)=-(t+1)/t, q(t)=1/t e r(t)=t.

Passo 3

Primeiro calculamos as derivadas de y₁ e y₂ e o Wronskiano W=y₁y₂’–y₁’y₂:
y₁(t)=eᵗ ⇒ y₁’(t)=eᵗ
y₂(t)=t+1 ⇒ y₂’(t)=1
W(y₁,y₂)=eᵗ & t+1 eᵗ & 1=eᵗ·1 - eᵗ·(t+1) = -t eᵗ

Passo 4

Para variação de parâmetros numa EDO y’’+p(t)y’+q(t)y=r(t) temos as fórmulas
u1' = -r(t),y2W, nu2' = r(t),y1W
Substituindo r(t)=t, y₁=eᵗ, y₂=t+1 e W=-t eᵗ:
u1' = -t,(t+1)-t eᵗ = (t+1)e^-t, nu2' = t,eᵗ-t eᵗ = -1

Passo 5

Integramos para obter ν₁(t) e ν₂(t). Como constantes de integração viram parte da homogênea, basta uma antiderivada particular:
ν1(t) = integral (t+1)e^-tdt = -e^-t(t+2), ν2(t) = integral(-1)dt = -t

Passo 6

A solução particular é
yp(t) = ν1(t)y1(t) + ν2(t)y2(t) = [-e^-t(t+2)]·e^t + (-t)·(t+1) = -(t+2) - t(t+1) = -t^2 -2t -2

Passo 7

Finalmente, a solução geral é a soma da homogênea mais a particular:
y(t) = C1e^t + C2(t+1) - t^2 - 2t -2,
com C₁ e C₂ constantes arbitrárias.

Resposta

y(t)=C_{1}e{t}+C_{2}(t+1)-t{2}-2t-2

Exercícios relacionados