Encontre a solução geral da EDO não linear
sabendo que
e
são soluções fundamentais da homogênea associada.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da EDO não homogênea de segunda ordem com coeficientes variáveis
t y’’(t) – (t+1)y’(t) + y(t) = t²
sabendo que as soluções fundamentais da homogênea são y₁(t)=eᵗ e y₂(t)=t+1. Vamos usar variação de parâmetros para montar uma solução particular e depois somar à homogênea.
Passo 2
Divide-se a equação original por t (assumindo t≠0) para colocá-la na forma padrão y’’+p(t)y’+q(t)y=r(t). Isso dá:
Aqui, p(t)=-(t+1)/t, q(t)=1/t e r(t)=t.
Passo 3
Primeiro calculamos as derivadas de y₁ e y₂ e o Wronskiano W=y₁y₂’–y₁’y₂:
y₁(t)=eᵗ ⇒ y₁’(t)=eᵗ
y₂(t)=t+1 ⇒ y₂’(t)=1
Passo 4
Para variação de parâmetros numa EDO y’’+p(t)y’+q(t)y=r(t) temos as fórmulas
Substituindo r(t)=t, y₁=eᵗ, y₂=t+1 e W=-t eᵗ:
Passo 5
Integramos para obter ν₁(t) e ν₂(t). Como constantes de integração viram parte da homogênea, basta uma antiderivada particular:
Passo 6
A solução particular é
Passo 7
Finalmente, a solução geral é a soma da homogênea mais a particular:
com C₁ e C₂ constantes arbitrárias.
Resposta
y(t)=C_{1}e{t}+C_{2}(t+1)-t{2}-2t-2