Use o método de variação de parâmetros para encontrar a solução geral das seguintes EDOs lineares não homogêneas com coeficientes constantes. (As questões marcadas com (!) são mais desafiantes).
y^prime prime(t)-2 y^prime(t)-3 y(t)=e^2 t

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a EDO de segunda ordem
y''(t)-2y'(t)-3y(t)=e^2t
É uma equação linear não homogênea com coeficientes constantes. Para usar variação de parâmetros, vamos primeiro achar a solução homogênea e depois determinar uma solução particular via variação de constantes.

Passo 2

Solução da homogênea: consideramos
y''-2y'-3y=0
A equação característica é
r^2-2r-3=0
Suas raízes são r=3 e r=-1. Logo, a solução geral da homogênea é
yh(t)=C1e^3t+C2e^-t

Passo 3

Montagem da variação de parâmetros: procuramos uma particular da forma
yp(t)=u1(t)e^3t+u2(t)e^-t
e impomos as condições clássicas
u1'(t)e^3t+u2'(t)e^-t=0, 3u1'(t)e^3t-u2'(t)e^-t=e^2t

Passo 4

Resolvendo para u1' e u2': da primeira equação vem
u2'(t)=-u1'(t)e^4t
Substituindo na segunda:
3u1'e^3t+u1'e^4te^-t=4u1'(t)e^3t=e^2t
Logo
u1'(t)=e^2t4e^3t=14e^-t,
\
u2'(t)=-u1'(t)e^4t=-14e^-te^4t=-14e^3t

Passo 5

Integração de u1' e u2':
u1(t)=integral14e^-tdt=-tfrac14e^-t,
u2(t)=integrall(-tfrac14e^3tr)dt=-tfrac112e^3t

Passo 6

Construção de yp e solução geral: substituindo em
yp(t)=u1e^3t+u2e^-t
obtemos
yp(t)=-tfrac14e^-te^3t-tfrac112e^3te^-t=-(tfrac14+tfrac112)e^2t=-tfrac13e^2t
Logo, a solução geral é a soma de yh com yp.

Resposta

y(t)=C1e^3t+C2e^-t-tfrac13e^2t

Exercícios relacionados