Use o método de variação de parâmetros para encontrar a solução geral das seguintes EDOs lineares não homogêneas com coeficientes constantes. (As questões marcadas com (!) são mais desafiantes).
2 y^prime prime(t)+18 y(t)=6 tan (3 t)

Passo 1

Resumo do enunciado e do que vamos precisar: temos a EDO linear não homogênea com coeficientes constantes
2y''(t)+18y(t)=6tan(3t)
O conteúdo é “variação de parâmetros” para encontrar uma solução particular depois de achar a solução geral da homogênea.

Passo 2

Encontrar a solução geral da homogênea: dividindo tudo por 2 obtemos
y''+9y=0
A equação característica é r^2+9=0, com raízes r=±3i. Logo a solução homogênea é
yh(t)=C1cos(3t)+C2sin(3t)

Passo 3

Escolher as soluções fundamentais e montar as fórmulas de variação de parâmetros: defina
y1(t)=cos(3t), y2(t)=sin(3t), f(t)=3tan(3t)
O Wronskiano é
W=y1y2'-y1'y2=3l(cos^2(3t)+sin^2(3t)r)=3

Passo 4

Calcular u2'(t) e integrar para achar u2(t):
u2'= racy1fW=cos(3t)cdot3tan(3t)3=sin(3t),
logo
u2(t)=integralsin(3t),dt=-tfrac13cos(3t)

Passo 5

Calcular u1'(t) e integrar para achar u1(t):
u1'=-y2fW=-sin(3t)cdot3tan(3t)3=-sin^2(3t)cos(3t)=-sec(3t)+cos(3t)
Integrando,
u1(t)=integrall(-sec(3t)+cos(3t)r)dt=-tfrac13lnl|sec(3t)+tan(3t)r|+tfrac13sin(3t)

Passo 6

Construir a solução particular e simplificar: pelo método,
yp=u1y1+u2y2=igl(-tfrac13ln|sec(3t)+tan(3t)|+tfrac13sin(3t)r)cos(3t)-tfrac13cos(3t)sin(3t) 
Observe que +tfrac13sin(3t)cos(3t) - tfrac13cos(3t)sin(3t)=0, restando
yp(t)=-tfrac13cos(3t)lnl|sec(3t)+tan(3t)r|

Resposta

A solução geral é
y(t)=C1cos(3t)+C2sin(3t)-tfrac13cos(3t)lnl|sec(3t)+tan(3t)r|

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