Encontre a solução geral da EDO:
y^prime prime prime-5 y^prime prime+17 y^prime-13 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO de terceira ordem linear homogênea com coeficientes constantes:
y''' - 5y'' + 17y' - 13y = 0
O conteúdo aqui é usar o polinômio característico e encontrar suas raízes, reais e complexas, para montar a solução geral.

Passo 2

Formamos o polinômio característico associado à EDO. Como cada derivada de ordem n vira r^n, temos
r^3 - 5r^2 + 17r - 13 = 0

Passo 3

Procuramos raízes inteiras testando possíveis divisores de 13. Para r=1:
1^3 - 5cdot1^2 + 17cdot1 - 13 = 1 - 5 + 17 - 13 = 0,
logo r=1 é uma raiz.

Passo 4

Dividimos o polinômio original por (r - 1) para obter o fator quadrático. A divisão polinomial dá
r^3 - 5r^2 + 17r - 13 = (r - 1)(r^2 - 4r + 13)

Passo 5

Resolvemos a equação quadrática
r^2 - 4r + 13 = 0
O discriminante é
De<a = (-4)^2 - 4cdot1cdot13 = 16 - 52 = -36,
portanto as raízes são
r = 4 pm raiz-362 = 2 pm 3i

Passo 6

Temos uma raiz real simples r=1 e um par de raízes complexas conjugadas 2 pm 3i. A solução geral de uma EDO homogênea com essas raízes é
y(x) = C1 e^1cdot x + e^2xl(C2 cos(3x) + C3 sin(3x)r),
onde C1, C2, C3 são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

y(x) = C1 e^x + e^2xl(C2 cos(3x) + C3 sin(3x)r)

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