Encontre a solução geral da EDO:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da EDO de terceira ordem linear homogênea com coeficientes constantes:
O conteúdo aqui é usar o polinômio característico e encontrar suas raízes, reais e complexas, para montar a solução geral.
Passo 2
Formamos o polinômio característico associado à EDO. Como cada derivada de ordem
vira
, temos
Passo 3
Procuramos raízes inteiras testando possíveis divisores de
. Para
:
logo
é uma raiz.
Passo 4
Dividimos o polinômio original por
para obter o fator quadrático. A divisão polinomial dá
Passo 5
Resolvemos a equação quadrática
O discriminante é
portanto as raízes são
Passo 6
Temos uma raiz real simples
e um par de raízes complexas conjugadas
. A solução geral de uma EDO homogênea com essas raízes é
onde
são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.