Encontre a solução geral das equações diferenciais a seguir:
(a)
(b)
Decida qual método é mais apropriado para encontrar uma solução particular: coeficientes a determinar ou variação de parâmetros. Justifique sua escolha.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral de duas equações diferenciais lineares de segunda ordem não homogêneas:
(a)
(b)
Em ambos os casos vamos obter a solução geral como
onde é a solução da homogênea e uma particular. Para escolhemos, conforme o termo não homogêneo, entre coeficientes a determinar ou variação de parâmetros.
Passo 2
Para (a) a homogênea é
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Como o termo não é polinomial, exponencial nem combinação simples de seno e cosseno, o método de coeficientes a determinar não se aplica. Usamos, portanto, variação de parâmetros.
Passo 3
Com , temos o Wronskiano
As fórmulas são
u1'=-f(t),y2W=-csc tcdotsin t=-1, u2'=f(t),y1W=csc tcdotcos t=cot t
Integrando,
u1(t)=-t, u2(t)=integralcot t,dt=ln(sin t)
Portanto uma particular é
yp=u1,y1+u2,y2 =-tcos t+(ln(sin t))sin t
Passo 4
A solução geral de (a) fica
boxedy(t)=C1cos t+C2sin t ;-;tcos t;+;sin tln(sin t)
Passo 5
Para (b) a homogênea
y''+5y'+6y=0implies r^2+5r+6=0implies r=-2,,-3
então
yh=C1e^-2x+C2e^-3x
O termo não homogêneo é x e^-5x, produto de polinômio e exponencial cujo expoente -5 não coincide com raízes da característica. Logo o método de coeficientes a determinar é apropriado (mais direto que variação de parâmetros).