Encontre a solução geral das equações diferenciais a seguir:
(a) y^prime prime+y=csc (t)
(b) y^prime prime+5 y^prime+6 y=x e^-5 x
  • Decida qual método é mais apropriado para encontrar uma solução particular: coeficientes a determinar ou variação de parâmetros. Justifique sua escolha.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral de duas equações diferenciais lineares de segunda ordem não homogêneas:
(a) y''+y=csc t
(b) y''+5y'+6y=x,e^-5x
Em ambos os casos vamos obter a solução geral como
y=yh+yp
onde yh é a solução da homogênea e yp uma particular. Para yp escolhemos, conforme o termo não homogêneo, entre coeficientes a determinar ou variação de parâmetros.

Passo 2

Para (a) a homogênea é
y''+y=0implies r^2+1=0implies r=pm i
logo
yh=C1cos t+C2sin t
Como o termo csc t=1/sin t não é polinomial, exponencial nem combinação simples de seno e cosseno, o método de coeficientes a determinar não se aplica. Usamos, portanto, variação de parâmetros.

Passo 3

Com y1=cos t, y2=sin t temos o Wronskiano
W(t)=cos t&sin t-,sin t&cos t =cos^2t+sin^2t=1
As fórmulas são
u1'=-f(t),y2W=-csc tcdotsin t=-1, u2'=f(t),y1W=csc tcdotcos t=cot t
Integrando,
u1(t)=-t, u2(t)=integralcot t,dt=ln(sin t)
Portanto uma particular é
yp=u1,y1+u2,y2 =-tcos t+(ln(sin t))sin t

Passo 4

A solução geral de (a) fica
boxedy(t)=C1cos t+C2sin t ;-;tcos t;+;sin tln(sin t)

Passo 5

Para (b) a homogênea
y''+5y'+6y=0implies r^2+5r+6=0implies r=-2,,-3
então
yh=C1e^-2x+C2e^-3x
O termo não homogêneo é x e^-5x, produto de polinômio e exponencial cujo expoente -5 não coincide com raízes da característica. Logo o método de coeficientes a determinar é apropriado (mais direto que variação de parâmetros).

Passo 6

Propondo
yp=(Ax+B)e^-5x,
calculamos
yp'=l(A-5(Ax+B)r)e^-5x, yp''=l(25Ax+25B-10Ar)e^-5x
Substituindo em y''+5y'+6y e igualando a x e^-5x obtemos
6Ax+(6B-5A)=x
de onde
6A=1implies A=tfrac16, 6B-5A=0implies B=tfrac536
Então
yp=l(tfracx6+tfrac536r)e^-5x

Passo 7

A solução geral de (b) é
boxedy(x)=C1e^-2x+C2e^-3x +l(tfracx6+tfrac536r)e^-5x

Resposta

(a) y(t)=C1cos t+C2sin t -tcos t+sin tln(sin t)
(b) y(x)=C1e^-2x+C2e^-3x+l(tfracx6+tfrac536r)e^-5x

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