Sketch the curve by using the parametric equations to plot points. Indicate with an arrow the direction in which the curve is traced as t increases.
4. x=e^-t+t, y=e^t-t, -2 <= t <= 2

Passo 1

O enunciado pede para esboçarmos a curva paramétrica
x = e^-t + t, y = e^t - t, -2 <= t <= 2,
traçando alguns pontos e indicando com uma seta a direção conforme t cresce. O conteúdo envolve curvas paramétricas no plano e interpretação de como x(t) e y(t) variam.

Passo 2

Calculemos pontos-chave para t=-2,-1,0,1,2:
t=-2:;& x = e^2-2approx 7,389-2=5,389, y = e^-2+2approx 0,135+2=2,135, t=-1:;& x = e^1-1approx 2,718-1=1,718, y = e^-1+1approx 0,368+1=1,368, t=0:;& x = e^0+0=1, y = e^0-0=1, t=1:;& x = e^-1+1approx 0,368+1=1,368, y = e^1-1approx 2,718-1=1,718, t=2:;& x = e^-2+2approx 0,135+2=2,135, y = e^2-2approx 7,389-2=5,389

Passo 3

Para entender a direção, vejamos os sinais de
dxdt=-e^-t+1 e dydt=e^t-1:
  • Para t<0, temos e^-t>1 e e^t<1, logo dxdt<0 e dydt<0: conforme t cresce de -2 a 0, x,y decrescem, aproximando-se do ponto (1,1).
  • Para t>0, temos e^-t<1 e e^t>1, logo dxdt>0 e dydt>0: de 0 a 2, x,y crescem, afastando-se de (1,1).
Em t=0 a velocidade é nula ( dxdt=dydt=0), gerando um ponto de retorno (cúspide) em (1,1).

Passo 4

Para esboçar:
  1. Marque no plano os pontos calculados nos passos anteriores.
  2. Conecte-os suavemente em ordem crescente de t: (5,389,2,135)to(1,718,1,368)to(1,1)to(1,368,1,718)to(2,135,5,389).
  3. Em (1,1) haverá um ponto de retorno (cúspide).
  4. Desenhe uma seta ao longo da curva apontando na direção de redução de t negativo para positivo: do ponto mais à direita-esquerda (5,389,2,135) em direção a (1,1) e depois para (2,135,5,389).

Resposta

O esboço consiste em uma curva que vem do ponto aproximado (5,389,2,135) em t=-2, desliza para o ponto de cúspide (1,1) em t=0 e depois sobe em direção a (2,135,5,389) em t=2. A seta deve seguir esse trajeto conforme t aumenta.

Exercícios relacionados