Encontre a solução geral da EDO de primeira ordem, t^3 y^prime+4 t^2 y=e^-t. Qual o comportamento das curvas soluções quanto t +infty.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a solução geral da equação diferencial de primeira ordem:
t^3 y^prime + 4 t^2 y = e^-t
Isso está ligado ao conteúdo de Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem. Para resolver, vamos precisar manipular a equação para colocar na forma padrão e usar o fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é:
y^prime + P(t) y = Q(t)
Para isso, dividimos toda a equação por y^prime + 4t y = e^-tt^3 :
Aqui, identificamos que e .

Passo 3

Agora, precisamos achar o fator integrante, que é uma função que nos ajuda a resolver a equação. O fator integrante mu(t) = e^integral P(t) dt = e^integral 4t dt = e^4 ln t = t^4 é dado por:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação pela t^4 y^prime + t^4 cdot 4t y = t^4 cdot e^-tt^3 :
t^4 y^prime + 4 t^3 y = t e^-t
Simplificando:
ddt (t^4 y) = t e^-t
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto :

Passo 5

Vamos integrar os dois lados para encontrar integral ddt (t^4 y) dt = integral t e^-t dt :
integral t e^-t dt = -t e^-t + integral e^-t dt = -t e^-t - e^-t + C
Integrando o lado direito por partes, onde:
  • Seja t^4 y = -e^-t(t + 1) + C então
  • Seja então
Aplicando a integração por partes:
Então:

Passo 6

Isolando y = -e^-t(t + 1)t^4 + Ct^4 = -t + 1t^4 e^-t + Ct^4 para achar a solução geral:
y(t) = Ct^4 - t + 1t^4 e^-t
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos analisar o comportamento das soluções quando .
Olhemos cada termo da solução:
  1. : Conforme cresce, esse termo tende a 0 porque no denominador cresce muito.
  2. : Aqui, decai para 0 super rápido, e mesmo multiplicado por , o todo também tende a 0.
Portanto, conforme , a solução tende a 0.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = Ct^4 - t + 1t^4 e^-t
E as curvas soluções tendem a zero quando tende a .

Exercícios relacionados