Encontre a solução geral da EDO de primeira ordem,
. Qual o comportamento das curvas soluções quanto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a solução geral da equação diferencial de primeira ordem:
Isso está ligado ao conteúdo de Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem. Para resolver, vamos precisar manipular a equação para colocar na forma padrão e usar o fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é:
Para isso, dividimos toda a equação por
:
Aqui, identificamos que
e
.
Passo 3
Agora, precisamos achar o fator integrante, que é uma função que nos ajuda a resolver a equação. O fator integrante
é dado por:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação pela
:
Simplificando:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Vamos integrar os dois lados para encontrar
:
Integrando o lado direito por partes, onde:
- Seja
então - Seja
então
Aplicando a integração por partes:
Então:
Passo 6
Isolando
para achar a solução geral:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos analisar o comportamento das soluções quando
.
Olhemos cada termo da solução:
-
: Conforme cresce, esse termo tende a 0 porque no denominador cresce muito. -
: Aqui, decai para 0 super rápido, e mesmo multiplicado por , o todo também tende a 0.
Portanto, conforme
, a solução
tende a 0.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
E as curvas soluções tendem a zero quando
tende a
.