Resolva o PVI dado pela EDO separável
[
\left{ $$ y^prime & =2-e^x3+2 y y(0) & =0 $$ \right.
]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) separável que é assim:
y^prime & =2-e^x3+2 y y(0) & =0
Isso significa que a taxa de variação de em relação a está relacionada a e de uma forma que dá pra separar as variáveis. Para resolver isso, vamos precisar separar e em lados diferentes da equação e integrar ambos. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis (3 + 2y) , dy = (2 - e^x) , dx e . Começamos multiplicando ambos os lados da equação por para isolar :
Agora, temos do lado esquerdo e do lado direito da equação, prontos para serem integrados separadamente.

Passo 3

Vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia aqui é encontrar funções que, quando derivadas, nos dão de volta as expressões originais.
integral (3 + 2y) , dy = integral (2 - e^x) , dx
Integrando o lado esquerdo:
integral 3 , dy + integral 2y , dy = 3y + y^2 + C1
Aqui, é a constante de integração.

Passo 4

Agora, integraremos o lado direito:
integral 2 , dx - integral e^x , dx = 2x - e^x + C2
Onde é outra constante de integração. Podemos combinar as constantes e em uma única constante , já que elas são arbitrárias.

Passo 5

Colocando tudo junto, temos:
3y + y^2 = 2x - e^x + C
Essa é a solução geral da equação diferencial. Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar o valor de .

Passo 6

Aplicamos a condição inicial 3(0) + (0)^2 = 2(0) - e^0 + C :
0 = 0 - 1 + C
C = 1
Então, a constante vale 1.

Passo 7

Substituímos 3y + y^2 = 2x - e^x + 1 de volta na expressão da solução geral:
Essa é a solução particular que satisfaz a condição inicial dada.

Resposta

A solução da equação diferencial é:
3y + y^2 = 2x - e^x + 1

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