Encontre a solução geral da EDO
y^(4)-5 y^prime prime+4 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO linear e homogênea de ordem quatro com coeficientes constantes
y^(4) - 5,y'' + 4,y = 0
O conteúdo necessário é reconhecer que, em EDOs desse tipo, buscamos soluções da forma y(x)=e^r x e montamos a equação característica para encontrar os valores de r.

Passo 2

Supondo uma solução do tipo y(x)=e^r x, temos
y''(x)=r^2 e^r x, y^(4)(x)=r^4 e^r x
Substituindo na EDO:
r^4 e^r x -5,r^2 e^r x+4,e^r x=0 Longrightarrow l(r^4 -5r^2 +4r)e^r x=0
Como e^r xneq0, a condição é
r^4 -5r^2 +4=0

Passo 3

Para resolver
r^4 -5r^2 +4=0
fazemos a mudança de variável m=r^2, obtendo a quadrática
m^2 -5m+4=0
As raízes são
m = 5pmraiz25-162 = 5pm32,
isto é, m1=4 e m2=1. Voltando a r:
r^2=4 Rightarrow r=pm2, r^2=1 Rightarrow r=pm1

Passo 4

As quatro raízes distintas r=2,-2,1,-1 geram as soluções fundamentais e^2x, e^-2x, e^x e e^-x. Como a EDO é homogênea e linear, a solução geral é combinação linear dessas funções.

Resposta

y(x) = C1,e^2x + C2,e^-2x + C3,e^x + C4,e^-x,
onde C1,C2,C3,C4 são constantes arbitrárias.

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