Resolva as seguintes equações homogêneas de primeira ordem:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
(o)
§
(q)
®
(s)
(t)
Passo 1
O enunciado pede para resolver vinglória de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, todas de tipo homogêneo, ou que se reduzem a isso. O conteúdo da matéria é justamente a técnica de substituição (ou ), que transforma uma equação da forma
onde é homogênea de grau zero (isto é, ), numa equação separável em e .
Passo 2
Método geral para cada equação homogênea: . Faço a troca , logo
. Substituo em escrevendo , obtendo uma relação
onde . . Isolo e separo variáveis:
e integro ambos os lados. . Volto à variável original .
Passo 3
Aplicando o método a cada item e escrevendo as soluções gerais (constante de integração em cada caso):
(a)
Solução:
(b)
Solução:
(c)
Solução:
(d)
Solução implícita manipulada em forma explícita:
(e)
Solução implícita:
(f)
Solução implícita simplificada:
(g)
Solução implícita em forma de função transcendente:
(h)
Reescrevendo , segue como o caso (c):
(i)
Homogênea em . Solução implícita:
(j)
Isolando obtém homogênea em . Solução implícita análoga ao caso (i).
(k)
Torna-se , ou seja . Solução:
daí
(l)
Ou seja . Solução:
(m)
Define , então , resultando
solução
(n) mesmo que (i).
(o)
Torna-se . Integração leva a
§
Com obtém-se . Integração:
(q)
Equação linear exata em . Solução:
®
Com , . Solução implícita:
(s)
Onde . Integro
resultando
(t) igual ao caso (c).
Resposta
Segue a lista das soluções gerais com constante C:
(a) y = x,lnlvert xrvert + C,x
(b) y = C,x^2
(c) y = x,tan!l(lnlvert xrvert + Cr)
(d) y = dfracC,x^21 - C,x
(e) y - x(y + 3x)^5 = C
(f) (y + x),(y + 4x)^2 = C
(g) 1y + xexp!l(-tfrac2xy+xr) = C
(h) y = x,tan!l(lnlvert xrvert + Cr)
(i)/(n) yx - raiz1+l(tfracyxr)^2 = C,x^-1
(j) forma implícita análoga a (i).
(k) e^-y/x = -lnlvert xrvert + C
(l) y = C,x^2
(m) tan!l(tfracyxr) = lnlvert xrvert + C
(o) sinh^-1!l(tfracyxr) = lnlvert xrvert + C
§ e^-2y/x = -2,lnlvert xrvert + C
(q) y = C,x^2 + x
® y-3xy = C,x
(s) ln!l|tfracyxl(1+tfracyxr)r| = lnlvert xrvert + C