1. Resolva as seguintes equações homogêneas de primeira ordem:
    (a) y^prime=x+yx
    (b) 2 y-x y^prime=0
    (c) y^prime=x^2+x y+y^2x^2
    (d) y^prime=y^2+2 x yx^2
    (e) y^prime=4 y-3 x2 x-y
    (f) y^prime=-4 x+3 y2 x+y
    (g) y^prime=x+3 yx-y
    (h) x^2 y^prime-x^2-3 x y-y^2=0
    (i) x y^prime=y+raizx^2+y^2
    (j) 2 x y^prime-2 y-raizx^2-y^2=0
    (k) x y^prime=y+x e^y / x
    (l) x^2 y^prime-y-x y=0
    (m) y^prime=yx+cos ^2(yx)
    (n) x y^prime=y+raizx^2+y^2
    (o) x y^prime=raizx^2+y^2
    § x y^prime=y+x e^2 y / x
    (q) y^prime=x+2 yx
    ® y^prime=y^2-2 x yx^2
    (s) y^prime=y^2x y+y^2
    (t) y^prime=x^2+x y+y^2x^2

Passo 1

O enunciado pede para resolver vinglória de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, todas de tipo homogêneo, ou que se reduzem a isso. O conteúdo da matéria é justamente a técnica de substituição y=ux (ou u=yx), que transforma uma equação da forma
y' = Fl(x,yr),
onde F é homogênea de grau zero (isto é, F(lambda x,lambda y)=F(x,y)), numa equação separável em u e x.

Passo 2

Método geral para cada equação y' = F(x,y) homogênea:
1. Faço a troca ;y = u,x, logo
y' = u + x,dudx
2. Substituo em y' = F(x,y) escrevendo y/x = u, obtendo uma relação
u + x,dudx = G(u),
onde G(u)=F(1,u).
3. Isolo e separo variáveis:
duG(u)-u = dxx,
e integro ambos os lados.
4. Volto à variável original y = ux.

Passo 3

Aplicando o método a cada item e escrevendo as soluções gerais (constante de integração C em cada caso):
  • (a) y'=dfracx+yx=1+dfracyx
    Solução:
    y = x,lnlvert xrvert + C,x
  • (b) 2y - x,y'=0iff y'=tfrac2yx
    Solução:
    y = C,x^2
  • (c) y'=dfracx^2+x y+y^2x^2=1+yx+l(yxr)^2
    Solução:
    y = x,tan!l(lnlvert xrvert + Cr)
  • (d) y'=dfracy^2+2x yx^2=l(tfracyxr)^2+2yx
    Solução implícita manipulada em forma explícita:
    y = C,x^21 - C,x
  • (e) y'=4y-3x2x-y
    Solução implícita:
    y - xl(y + 3xr)^5 = C
  • (f) y'=-4x+3y2x+y
    Solução implícita simplificada:
    l(y + xr),l(y + 4xr)^2 = C
  • (g) y'=x+3yx-y
    Solução implícita em forma de função transcendente:
    1y + x,exp!gl(-2xy+xgr) = C
  • (h) x^2y' - x^2 - 3xy - y^2=0
    Reescrevendo y'=1+3yx^+l(yxr)^2, segue como o caso (c):
    y = x,tan!l(lnlvert xrvert + Cr)
  • (i) x,y'=y+raizx^2+y^2
    Homogênea em y/x. Solução implícita:
    yx - raiz1+l(tfracyxr)^2 = C,x^-1
  • (j) 2x,y' - 2y - raizx^2-y^2=0
    Isolando y' obtém homogênea em y/x. Solução implícita análoga ao caso (i).
  • (k) x,y'=y + x,e^y/x
    Torna-se u + x,u' = u + e^u, ou seja x,du/dx = e^u. Solução:
    integral e^-u,du = -,e^-u = lnlvert xrvert + C,
    daí
    e^-y/x = -,lnlvert xrvert + C
  • (l) x^2y' - y - x,y=0iff y' = yx + yx^
    Ou seja y' = 2,tfracyx. Solução:
    y = C,x^2
  • (m) y'=yx + cos^2!l(tfracyxr)
    Define u=y/x, então u + x,u' = u + cos^2(u), resultando
    x,dudx = cos^2(u), integral sec^2(u),du = integral dxx,
    solução
    tan!l(tfracyxr) = lnlvert xrvert + C
  • (n) mesmo que (i).
  • (o) x,y' = raizx^2+y^2
    Torna-se u + x,u' = raiz1+u^2. Integração leva a
    arcsinh!l(ur) = lnlvert xrvert + C ;Longrightarrow; sinh^-1!l(tfracyxr) = lnlvert xrvert + C
  • § x,y' = y + x,e^2y/x
    Com u=y/x obtém-se x,du/dx = e^2u. Integração:
    integral e^-2u,du = -tfrac12,e^-2u = lnlvert xrvert + C
  • (q) y'=x+2yx=1+2yx
    Equação linear exata em y/x. Solução:
    y = C,x^2 + x
  • ® y'=y^2 - 2xyx^2 = l(tfracyxr)^2 - 2,tfracyx
    Com u=y/x, x,du/dx = u^2 -3u. Solução implícita:
    u-3u = C,x Longrightarrow y-3xy = C,x
  • (s) y'=y^2xy + y^2 = u^2u + u^2 = u1 + u
    Onde u=y/x. Integro
    u + x,dudx = u1+u ;Longrightarrow; duu + du1+u = dxx,
    resultando
    ln!l|u(1+u)r| = lnlvert xrvert + C
  • (t) igual ao caso (c).

Resposta

Segue a lista das soluções gerais com constante C:
  • (a) y = x,lnlvert xrvert + C,x
  • (b) y = C,x^2
  • (c) y = x,tan!l(lnlvert xrvert + Cr)
  • (d) y = dfracC,x^21 - C,x
  • (e) y - x(y + 3x)^5 = C
  • (f) (y + x),(y + 4x)^2 = C
  • (g) 1y + xexp!l(-tfrac2xy+xr) = C
  • (h) y = x,tan!l(lnlvert xrvert + Cr)
  • (i)/(n) yx - raiz1+l(tfracyxr)^2 = C,x^-1
  • (j) forma implícita análoga a (i).
  • (k) e^-y/x = -lnlvert xrvert + C
  • (l) y = C,x^2
  • (m) tan!l(tfracyxr) = lnlvert xrvert + C
  • (o) sinh^-1!l(tfracyxr) = lnlvert xrvert + C
  • § e^-2y/x = -2,lnlvert xrvert + C
  • (q) y = C,x^2 + x
  • ® y-3xy = C,x
  • (s) ln!l|tfracyxl(1+tfracyxr)r| = lnlvert xrvert + C
  • (t) y = x,tan!l(lnlvert xrvert + Cr)

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