1. (UNICAMP-SP) Em 1665, Isaac Newton enunciou a Lei da Gravitação Universal, e dela pode-se obter a aceleração gravitacional a uma distância d de um corpo de massa M, dada por
g=G \cdot M / d^{2}
sendo \mathrm{G}=6,7 \cdot 10^{-11} \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{kg}^{2} a constante de gravitação universal. Sabendo-se o valor de G , o raio da Terra, e a aceleração da gravidade na superficie da Terra, foi possivel encontrar a massa da Terra, \mathrm{M}_{T}=6,0 \cdot 10^{24} \mathrm{~kg}. Sabendo que a aceleração gravitacional sobre um determinado satélite orbitando a Terra é igual a \mathrm{g}=0,25 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, a distância aproximada do satélite ao centro da Terra é de
(A) 1,7 \cdot 10^{3} \mathrm{~km}.
(B) 4,0 \cdot 10^{4} \mathrm{~km}.
(C) 7,0 \cdot 10^{3} \mathrm{~km}.
(D) 3,8 \cdot 10^{5} \mathrm{~km}.
(E) 4,0 \cdot 10^{7} \mathrm{~km}.

Passo 1

O enunciado pede a distância aproximada do satélite ao centro da Terra, dado que a aceleração gravitacional no local vale 0,25\\ \mathrm{m/s^{2}}. As informações relevantes que o enunciado fornece são:
G = 6,7\cdot 10^{-11}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/kg^{2}}
M_{T} = 6,0\cdot 10^{24}\\ \mathrm{kg}
g = 0,25\\ \mathrm{m/s^{2}}
O que queremos encontrar é a distância d do centro da Terra até o satélite (em km, para comparar com as alternativas).

Passo 2

A relação entre aceleração gravitacional, massa e distância é dada por Newton:
g = \frac{G M}{d^{2}}
Aqui:
  • g é a aceleração gravitacional no ponto onde está o satélite, em \mathrm{m/s^{2}}.
  • G é a constante gravitacional, em \mathrm{N\cdot m^{2}/kg^{2}} (note que 1\\ \mathrm{N} = 1\\ \mathrm{kg\cdot m/s^{2}}, então as unidades ficam consistentes).
  • M é a massa do corpo que gera o campo (a Terra), em \mathrm{kg}.
  • d é a distância do centro da Terra até o satélite, em \mathrm{m}.
Isolando d da fórmula (álgebra simples: multiplicar ambos os lados por d^{2} e dividir por g, depois extrair raiz quadrada):
d = \sqrt{\frac{G M}{g}}
Essa é a fórmula que vamos usar. Sempre importante verificar unidades: dentro da raiz ficará algo em \mathrm{m^{2}}, portanto d vem em \mathrm{m}.

Passo 3

Calcular o produto G M. Vou multiplicar as mantissas e somar os expoentes (regra de potências de 10).
G M = (6,7\cdot 10^{-11})\,(6,0\cdot 10^{24})
Multiplicando mantissas: 6,7 \times 6,0 = 40,2.
Somando expoentes: -11 + 24 = 13.
Logo,
G M = 40,2\cdot 10^{13}
Normalizando para forma científica ( a\cdot10^{n} com 1\le a<10):
G M = 4,02\cdot 10^{14}\\ \mathrm{(unidades\\ compatíveis)}í

Passo 4

Dividir pelo valor de g:
\frac{G M}{g} = \frac{4,02\cdot 10^{14}}{0,25}
Dividir por 0,25 é o mesmo que multiplicar por 4, então:
\frac{G M}{g} = 4,02\cdot 10^{14}\times 4 = 16,08\cdot 10^{14}
Normalizando:
\frac{G M}{g} = 1,608\cdot 10^{15}
Esse valor é o quadrado da distância d^{2}.

Passo 5

Agora extraímos a raiz quadrada:
d = \sqrt{1,608\cdot 10^{15}}
Usamos a propriedade \sqrt{a\cdot 10^{n}} = \sqrt{a}\cdot 10^{n/2}:
d = \sqrt{1,608}\cdot 10^{7{,}5}
Calculemos aproximando \sqrt{1,608}. Uma boa aproximação é \sqrt{1,608}\approx 1,268. E 10^{7{,}5}=10^{7}\cdot 10^{0{,}5}=10^{7}\cdot\sqrt{10}\approx 10^{7}\cdot 3,1623=3,1623\cdot 10^{7}. Multiplicando:
d \approx 1,268 \times 3,1623\cdot 10^{7} \approx 4,01\cdot 10^{7}\\ \mathrm{m}

Passo 6

Converter para quilômetros (dividir por 1000):
d \approx \frac{4,01\cdot 10^{7}\\ \mathrm{m}}{10^{3}} = 4,01\cdot 10^{4}\\ \mathrm{km}
Arredondando para a notação usada nas alternativas, isso é \;4,0\cdot 10^{4}\\ \mathrm{km}.

Passo 7

Comparando com as alternativas fornecidas, a que corresponde é a alternativa (B).

Resposta

(B) 4,0\cdot 10^{4}\\ \mathrm{km}

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