Utilize coordenadas polares para reescrever a soma
em uma única integral dupla.
Passo 1
Primeiro, a gente tem a soma de três integrais duplas em coordenadas cartesianas cujo integrando é . O exercício pede para descrever toda a região de integração como uma única região e, em seguida, passar para coordenadas polares. Vamos usar que em coordenadas polares , e .
Passo 2
Em seguida, analisamos cada parte da região em cartesianas:
Para e , obtemos em polares as restrições
2) Para 1<= x<=raiz2 e 0<= y<= x, vêm rcostheta>=1, rcostheta<=raiz2, thetain[0,pi/4]
Para raiz2<= x<=2 e 0<= y<=raiz4-x^2, temos
rcostheta>=raiz2, r<=2, thetain[0,pi/4]
Passo 3
Observando os três pedaços, em todos aparece theta entre 0 e pi/4. Para um dado thetain[0,pi/4], as três porções em r são
de r=1 até r=tfrac1costheta, r=tfrac1costheta até r=tfracraiz2costheta, r=tfracraiz2costheta até r=2ééé
A união dessas fatias dá simplesmente r de 1 a 2.
Passo 4
Por fim, substituímos o integrando e o jacobiano:
x y,dx,dy = (rcostheta)(rsintheta),r,dr,dtheta = r^3costhetasintheta,dr,dtheta
Passo 5
Assim, a soma das três integrais vira uma única integral em polares sobre 0<=theta<=tfracpi4 e 1<= r<=2.
Resposta
I = integraltheta=0^pi/4integralr=1^2 r^3costhetasintheta,dr,dtheta