Utilize coordenadas polares para reescrever a soma
I=integral1raiz2^1 integralraiz1-x^2^x x y d y d x+integral1^raiz2 integral0^x x y d y d x+integralraiz2^2 integral0^raiz4-x^2 x y d y d x
em uma única integral dupla.

Passo 1

Primeiro, a gente tem a soma de três integrais duplas em coordenadas cartesianas cujo integrando é x y. O exercício pede para descrever toda a região de integração como uma única região D e, em seguida, passar para coordenadas polares. Vamos usar que em coordenadas polares x = rcostheta, y = rsintheta e dA = dx,dy = r,dr,dtheta.

Passo 2

Em seguida, analisamos cada parte da região em cartesianas:
  1. Para tfrac1raiz2<= x<=1 e raiz1-x^2<= y<= x, obtemos em polares as restrições
rcostheta>=tfrac1raiz2, r<=tfrac1costheta, r>=1, y<= xRightarrowtheta<=tfracpi4, y>=0Rightarrowtheta>=0
2) Para 1<= x<=raiz2 e 0<= y<= x, vêm
rcostheta>=1, rcostheta<=raiz2, thetain[0,pi/4]
  1. Para raiz2<= x<=2 e 0<= y<=raiz4-x^2, temos
rcostheta>=raiz2, r<=2, thetain[0,pi/4]

Passo 3

Observando os três pedaços, em todos aparece theta entre 0 e pi/4. Para um dado thetain[0,pi/4], as três porções em r são
de r=1 até r=tfrac1costheta, r=tfrac1costheta até r=tfracraiz2costheta, r=tfracraiz2costheta até r=2ééé
A união dessas fatias dá simplesmente r de 1 a 2.

Passo 4

Por fim, substituímos o integrando e o jacobiano:
x y,dx,dy = (rcostheta)(rsintheta),r,dr,dtheta = r^3costhetasintheta,dr,dtheta

Passo 5

Assim, a soma das três integrais vira uma única integral em polares sobre 0<=theta<=tfracpi4 e 1<= r<=2.

Resposta

I = integraltheta=0^pi/4integralr=1^2 r^3costhetasintheta,dr,dtheta

Exercícios relacionados