Sabe-se que y=C1 cos 2 t+C2 sen 2 t é a solução de y^prime prime+a y^prime+b y=0. Quanto valem a e b?

Passo 1

O enunciado diz que a solução geral da equação diferencial homogênea de coeficientes constantes y''+a y'+b y=0 é dada por y=C1cos2t+C2sin2t. O conteúdo aqui é teoria de equações diferenciais de 2ª ordem e vamos precisar usar a equação característica.

Passo 2

Escrevendo a equação característica associada temos r^2+a r+b=0. A solução geral da ODE vem de combinar exponenciais complexas cujas raízes são as soluções dessa equação.

Passo 3

Como as soluções reais são cos2t e sin2t, concluímos que as raízes da característica são r=pm2i. Em geral raízes alphapm ibeta geram e^alpha t(C1cosbeta t+C2sinbeta t), e aqui alpha=0 e beta=2.

Passo 4

Fatorando a característica por essas raízes temos (r-2i)(r+2i)=r^2+4. Comparando com r^2+a r+b vemos que o coeficiente de r é zero e o termo independente é 4, ou seja, a=0 e b=4.

Resposta

a = 0, b = 4

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