Encontre a solução geral das edos( 1,0 ponto cada item!!):
d yd x+x y=x^2

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
dydx + x,y = x^2
Este é um caso de EDO linear na forma dydx+P(x)y=Q(x), em que vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante
mu(x) = exp!gl(integral P(x),dxgr) = exp!l(integral x,dxr) = exp!l(tfracx^22r)

Passo 3

Multiplicando toda a equação por mu(x) obtemos
e^x^2/2,dydx + x,e^x^2/2,y = x^2,e^x^2/2,
e o lado esquerdo é exatamente a derivada
ddxl(y,e^x^2/2r)

Passo 4

Integrando ambos os lados em relação a x, vem
y,e^x^2/2 = integral x^2,e^x^2/2,dx + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Para avaliar integral x^2e^x^2/2dx, fazemos integração por partes escolhendo
u = x, dv = x,e^x^2/2dx Longrightarrow du = dx, v = e^x^2/2
Isso dá
integral x^2e^x^2/2dx = x,e^x^2/2 - integral e^x^2/2dx
O integral integral e^x^2/2dx não tem forma elementar e pode ficar expresso em termos de função erro imaginária, ou mantido como integral.

Passo 6

Voltando à expressão de y, dividimos por e^x^2/2 e obtemos a solução geral
y(x) = e^-x^2/2l(x,e^x^2/2 - integral e^x^2/2dx + Cr) = x - e^-x^2/2!integral e^x^2/2dx + C,e^-x^2/2

Resposta

y(x) = x ;-; e^-x^2/2!integral e^x^2/2,dx ;+; C,e^-x^2/2,
que é a forma geral da solução.

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