Encontre a solução geral das EDOs:
x^2 y^prime prime-20 y=0

Passo 1

O enunciado é a equação diferencial
x^2y'' - 20y = 0,
que é uma equação de Euler (ou equidimensional). Para resolver, assumimos uma solução do tipo
y = x^m,
pois em equações de Euler as potências de x geram uma equação algébrica para m.

Passo 2

Calculamos as derivadas de y=x^m:
y' = m,x^m-1,
y'' = m(m-1),x^m-2
Substituindo em ,x^2y'' - 20y = 0 obtemos
x^2l[m(m-1)x^m-2r] - 20,x^m = 0 Longrightarrow m(m-1)x^m - 20x^m = 0,
logo a parte em x^m nos dá a equação característica
m(m-1)-20=0

Passo 3

Resolvendo a equação característica
m^2 - m - 20 = 0
usamos a fórmula de Bhaskara:
m = 1 pm raiz1 + 802 = 1 pm 92,
logo
m1 = 5, m2 = -4

Passo 4

Como as raízes m1 e m2 são distintas, a solução geral da equação de Euler é
y = C1,x^m1 + C2,x^m2 = C1,x^5 + C2,x^-4,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y = C1,x^5 + C2,x^-4

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