Identify the type of conic section whose equation is given and find the vertices and foci.
27. x^2=4 y-2 y^2

Passo 1

O enunciado nos dá a curva
x^2=4y-2y^2
e pede para identificarmos que tipo de cônica é, além de encontrarmos os vértices e os focos. Vamos completar o quadrado em y para colocar a equação em forma padrão.

Passo 2

Começamos rearranjando termos:
x^2 = -2y^2 +4y Longrightarrow 2y^2-4y + x^2=0
Agora isolamos o termo em y:
2l(y^2-2yr) + x^2=0 Longrightarrow 2l[(y-1)^2-1r] + x^2=0
Distributando:
2(y-1)^2 -2 + x^2=0 Longrightarrow x^2 + 2(y-1)^2=2

Passo 3

Dividindo ambos os lados por 2, obtemos a forma padrão
x^22 + (y-1)^21=1
Essa é a equação de uma elipse com centro em (0,1). Como a^2=2 (maior denominador) e b^2=1, os semi-eixos são
a=raiz2 (horizontal), b=1 (vertical)

Passo 4

Os vértices sobre o eixo maior (horizontal) saem do centro (0,1) deslocando pm a em x:
(pmraiz2,,1)
Os vértices sobre o eixo menor (co-vértices) deslocam pm b em y:
(0,,1pm1) = (0,2);e;(0,0)

Passo 5

Para os focos da elipse usamos
c^2=a^2-b^2=2-1=1 Longrightarrow c=1
Os focos estão a pm c em x ao redor do centro (0,1):
(pm1,,1)

Resposta

Tipo: elipse com centro em (0,1).
Vértices principais: (raiz2,1) e (-raiz2,1).
Co-vértices: (0,2) e (0,0).
Focos: (1,1) e (-1,1).

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