Identify the type of conic section whose equation is given and find the vertices and foci.
28. y^2-8 y=6 x-16

Passo 1

O enunciado dá a equação
y^2-8y=6x-16
e pede que a gente identifique o tipo de cônica e encontre os seus vértices e focos. Vamos usar o método de completar quadrado para pôr a equação na forma padrão e daí extrair os dados da cônica.

Passo 2

Completar o quadrado em y:
y^2-8y=(y-4)^2-16,
logo a equação fica
(y-4)^2-16=6x-16
Somando 16 em ambos os lados:
(y-4)^2=6x

Passo 3

A forma
(y-k)^2=4p,(x-h)
é a de uma parábola com vértice em (h,k) que abre para a direita se p>0. Aqui temos
(y-4)^2=6l(x-0r),
de modo que
h=0, k=4, 4p=6implies p=32
Portanto o vértice é
V=(0,4)

Passo 4

O foco de uma parábola nessa forma fica em
l(h+p,;kr)
Substituindo h=0, k=4 e p=tfrac32, obtemos
F=l(tfrac32,;4r)

Resposta

A cônica é uma parábola que abre para a direita.
Vértice: ,(0,4).
Foco: l(tfrac32,4r).

Exercícios relacionados