Encontre a solução geral das EDOs:
x^2 y^prime prime-2 x y^prime-4 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
x^2y''-2xy'-4y=0
Este tipo de equação é uma equação de Euler–Cauchy, em que procuramos soluções da forma y=x^r.

Passo 2

Assumindo y=x^r, temos
y'=r,x^r-1, y''=r(r-1),x^r-2
Substituindo na EDO:
x^2l[r(r-1)x^r-2r]-2xl[r x^r-1r]-4x^r=0 Longrightarrow l[r(r-1)-2r-4r]x^r=0
Como x^rneq0, o coeficiente deve anular-se, gerando a equação característica
r(r-1)-2r-4=0 Longrightarrow r^2-3r-4=0 Longrightarrow r=3pmraiz9+162 =4,-1

Passo 3

Temos duas raízes reais distintas r1=4 e r2=-1. Portanto, a solução geral é
y(x)=C1,x^4+C2,x^-1,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=C1,x^4+C2,x^-1

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