Identify the type of conic section whose equation is given and find the vertices and foci.
26. x^2=y^2+1

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
x^2 = y^2 + 1
e pede para identificar o tipo de seção cônica, além de encontrar vértices e focos. Para isso vamos reescrever na forma padrão de uma hipérbole e usar as relações conhecidas para vértices e focos.

Passo 2

Reescrevendo temos
x^2 - y^2 = 1
Dividindo ambos os lados por 1 obtemos a forma padrão
x^21 - y^21 = 1,
onde a^2=1 e b^2=1.

Passo 3

Como o termo tfracx^2a^2 é positivo e tfracy^2b^2 é subtraído, isso caracteriza uma hipérbole com eixo transverso ao longo do eixo x.

Passo 4

Os vértices de uma hipérbole tfracx^2a^2-tfracy^2b^2=1 são (pm a,0). Aqui a=raiza^2=raiz1=1, logo os vértices são
(1,0)e(-1,0)

Passo 5

Para os focos usamos c^2=a^2+b^2. Temos
c^2=1+1=2, c=raiz2
Os focos, alinhados no eixo x, são
l(raiz2,0r)el(-raiz2,0r)

Resposta

A curva é uma hipérbole com eixo principal horizontal.
Vértices: (1,0) e (-1,0).
Focos: (raiz2,0) e (-raiz2,0).

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