Resolva o Problema de Valor Inicial:
y^prime prime-2 y^prime-24 y=0 ; y(0)=0 ; y^prime(0)=20

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 2y' - 24y = 0
sujeita às condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=20. O conteúdo aqui é a técnica de equação característica para EDOs com coeficientes constantes.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo y=e^rx. Substituindo na equação, obtemos a equação característica:
r^2 - 2r - 24 = 0

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática:
r = 2 pm raiz(-2)^2 + 4cdot242 = 2 pm raiz4 + 962 = 2 pm 102,
portanto r1=6 e r2=-4.

Passo 4

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da EDO é
y(x) = C1 e^6x + C2 e^-4x,
onde C1 e C2 são constantes a determinar.

Passo 5

Calculamos a derivada
y'(x) = 6C1 e^6x ;-; 4C2 e^-4x,
e aplicamos as condições iniciais em x=0:
y(0)=C1 + C2 = 0,
y'(0)=6C1 - 4C2 = 20
Da primeira equação vem C2=-C1. Substituindo na segunda:
6C1 - 4(-C1) = 10C1 = 20 Longrightarrow C1 = 2,
logo C2 = -2.

Resposta

y(x) = 2e^6x ;-; 2e^-4x

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