Encontre a solução geral das EDOs.
x^2 y^prime prime-x y^prime+5 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO
x^2y''-xy'+5y=0
Esse tipo de equação é uma equação de Euler–Cauchy, e para resolvê-la vamos usar o método de tentar uma solução do tipo y=x^m e obter uma equação característica em m.

Passo 2

Para aplicar o método, primeiro calculamos as derivadas de y=x^m:
y = x^m, y' = m,x^m-1, y'' = m(m-1),x^m-2
Essas expressões nos dão tudo o que precisamos para substituir na EDO original.

Passo 3

Substituindo na equação x^2y''-xy'+5y=0 obtemos:
x^2l(m(m-1)x^m-2r) - xl(m x^m-1r) +5(x^m) = 0
que simplifica para
igl[m(m-1)-m+5r]x^m = 0 
Como x^mneq0, chega-mos à equação característica
m(m-1)-m+5=0
ou equivalentemente
m^2-2m+5=0

Passo 4

Resolvendo m^2-2m+5=0, o discriminante é De, logo as raízes são complexas:
m = 2pmraiz-162 = 1pm2i
Para raízes alphapm ibeta em equação de Euler, a solução geral fica
y(x)=x^alphal(C1cos(betaln x)+C2sin(betaln x)r)
Aqui alpha=1 e beta=2.

Resposta

y(x)=xl(C1cos(2ln x)+C2sin(2ln x)r)

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