Sejam
um campo vetorial e
o círculo
orientado no sentido anti-horária quando visto de cima. Use o Teorema de Stokes para calcular
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre o Teorema de Stokes, que faz parte do cálculo vetorial. O objetivo é calcular a integral de linha do campo vetorial
ao longo do círculo
definido por
com
, orientado no sentido anti-horário visto de cima. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona uma integral de linha em uma curva fechada com uma integral de superfície sobre uma superfície que tem essa curva como fronteira.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele nos diz que:
Ou seja, a integral de linha do campo vetorial
ao longo de
é igual à integral de superfície do rotacional de
sobre
, onde
é uma superfície cuja borda é
e
é o vetor normal à superfície.
Passo 3
Vamos identificar a superfície
. Como
é o círculo
com
, podemos escolher
como o disco
no plano
. Esse disco é uma superfície plana e fácil de trabalhar, e sua normal
aponta para cima, já que a orientação de
é anti-horária vista de cima.
Passo 4
Agora, precisamos calcular o rotacional de
, que é
. Vamos lembrar que:
Vamos calcular cada componente:
-
-
-
(Notar que há um ‘u’ no expoente; considerando que talvez seja um erro de digitação e deveria ser )
Assumindo que
, vamos prosseguir.
Passo 5
Calculando as derivadas parciais:
Passo 6
Substituindo na fórmula do rotacional:
Passo 7
Agora, precisamos calcular a integral de superfície:
Já que
está no plano
, a normal
é simplesmente
. Portanto, o produto escalar simplifica para:
Passo 8
Substituindo
na expressão acima:
Agora, a integral de superfície fica:
Passo 9
A área de
é a área do disco
, que tem raio
. Então:
Passo 10
Portanto, a integral de superfície é:
Resposta
A integral
é igual a
.