Sejam
F(x, y, z)=y z i+2 x z j+e^x u k
um campo vetorial e C o círculo x^2+y^2=16 com z=5 orientado no sentido anti-horária quando visto de cima. Use o Teorema de Stokes para calcular integralC F cdot d r.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre o Teorema de Stokes, que faz parte do cálculo vetorial. O objetivo é calcular a integral de linha do campo vetorial F(x, y, z)=y z i+2 x z j+e^x u k ao longo do círculo C definido por x^2+y^2=16 com z=5, orientado no sentido anti-horário visto de cima. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona uma integral de linha em uma curva fechada com uma integral de superfície sobre uma superfície que tem essa curva como fronteira.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele nos diz que:
ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
Ou seja, a integral de linha do campo vetorial F ao longo de C é igual à integral de superfície do rotacional de F sobre S, onde S é uma superfície cuja borda é C e n é o vetor normal à superfície.

Passo 3

Vamos identificar a superfície S. Como C é o círculo x^2+y^2=16 com z=5, podemos escolher S como o disco x^2+y^2 <= 16 no plano z=5. Esse disco é uma superfície plana e fácil de trabalhar, e sua normal n aponta para cima, já que a orientação de C é anti-horária vista de cima.

Passo 4

Agora, precisamos calcular o rotacional de F, que é nabla times F. Vamos lembrar que:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z )i + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x )j + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y )k
Vamos calcular cada componente:
  • Fx = y z
  • Fy = 2 x z
  • Fz = e^x u (Notar que há um ‘u’ no expoente; considerando que talvez seja um erro de digitação e deveria ser x)
Assumindo que Fz = e^x z, vamos prosseguir.

Passo 5

Calculando as derivadas parciais:
partial Fzpartial y = partialpartial y e^x z = 0
partial Fypartial z = partialpartial z (2 x z) = 2 x
partial Fxpartial z = partialpartial z (y z) = y
partial Fzpartial x = partialpartial x e^x z = z e^x z
partial Fypartial x = partialpartial x (2 x z) = 2 z
partial Fxpartial y = partialpartial y (y z) = z

Passo 6

Substituindo na fórmula do rotacional:
nabla times F = (0 - 2 x)i + (y - z e^x z)j + (2 z - z)k = -2 x i + (y - z e^x z) j + z k

Passo 7

Agora, precisamos calcular a integral de superfície:
integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
Já que S está no plano z=5, a normal n é simplesmente k. Portanto, o produto escalar simplifica para:
(nabla times F) cdot n = z

Passo 8

Substituindo z=5 na expressão acima:
(nabla times F) cdot n = 5
Agora, a integral de superfície fica:
integral duplaS 5 , dS = 5 integral duplaS dS

Passo 9

A área de S é a área do disco x^2+y^2 <= 16, que tem raio 4. Então:
Área = pi r^2 = pi (4)^2 = 16 pi Á

Passo 10

Portanto, a integral de superfície é:
5 times 16 pi = 80 pi

Resposta

A integral integralC F cdot d r é igual a 80,pi.

Exercícios relacionados