Encontre a solução geral das EDOs:
x^2 y^prime prime-x y^prime+5 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação de Euler–Cauchy
x^2y'' - x,y' + 5y = 0
Esse tipo de EDO admite a tentativa de solução da forma y = x^m, onde vamos transformar a equação diferencial numa equação algébrica para m.

Passo 2

Assumimos y = x^m. Então
y' = m,x^m-1, y'' = m(m-1),x^m-2

Passo 3

Substituindo em
x^2y'' - x,y' + 5y = 0
têm-se
x^2l[m(m-1)x^m-2r] ;-; xl[m,x^m-1r] ;+; 5x^m = 0,
ou seja
m(m-1)x^m - m,x^m + 5x^m = 0 Longrightarrow l[m(m-1) - m + 5r]x^m = 0
Como x^mneq0, obtemos a equação característica
m(m-1) - m + 5 = 0 Long<=ftrightarrow m^2 - 2m + 5 = 0

Passo 4

Resolvendo
m^2 - 2m + 5 = 0
usando a fórmula quadrática,
m = 2 pm raiz(-2)^2 - 4cdot1cdot52 = 2 pm raiz4 - 202 = 2 pm raiz-162 = 1 pm 2,i

Passo 5

Como as raízes são complexas m = alpha pm ibeta com alpha=1 e beta=2, a solução geral real fica
y(x) = x^alphal(C1cosl(betaln xr) + C2sinl(betaln xr)r)

Resposta

y(x) = xl(C1cosl(2ln xr) + C2sinl(2ln xr)r)

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