Encontre a solução geral das EDOs:
x^2 y^prime prime+0.7 x y^prime-0.1 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação de Euler–Cauchy
x^2y'' + 0.7,x,y' - 0.1,y = 0
Para este tipo de equação, usamos a substituição característica y=x^m.

Passo 2

Supondo y=x^m, temos
y' = m,x^m-1, y'' = m(m-1),x^m-2
Substituindo na EDO,
x^2l[m(m-1)x^m-2r] + 0.7,xl[mx^m-1r] - 0.1,x^m = 0
o que simplifica para a equação característica
m(m-1) + 0.7,m - 0.1 = 0

Passo 3

A equação característica fica
m^2 - m + 0.7,m - 0.1 = m^2 - 0.3,m - 0.1 = 0
Calculamos o discriminante:
De<a = (-0.3)^2 - 4cdot1cdot(-0.1) = 0.09 + 0.4 = 0.49
Logo as raízes são
m = 0.3 pm raiz0.492 Longrightarrow m1 = 0.3+0.72=0.5, m2 = 0.3-0.72=-0.2

Passo 4

Como as raízes m1=0.5 e m2=-0.2 são reais e distintas, a solução geral da EDO é
y(x) = C1,x^0.5 + C2,x^-0.2,
onde C1 e C2$ são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C1,x^tfrac12 + C2,x^-0.2

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