Find an equation for the conic that satisfies the given conditions.
31. Parabola, vertex (0,0), focus (0,-2)

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma parábola com vértice em (0,0) e foco em (0,-2). O conteúdo usado será a definição de parábola como o lugar geométrico dos pontos equidistantes do foco e da reta chamada diretora.

Passo 2

Como o foco está em (0,-2), a parábola abre para baixo e a diretora é a reta horizontal acima do vértice, a mesma distância 2. Logo, a diretora é
y = 2

Passo 3

Pelo definição, um ponto genérico (x,y) da parábola satisfaz
distl((x,y),(0,-2)r) ;=;distl((x,y),,y=2r)
A distância ao foco é raizx^2+(y+2)^2 e a distância à reta y=2 é lvert y-2rvert.

Passo 4

Igualando e elevando ao quadrado:
raizx^2+(y+2)^2 = lvert y-2rvert Longrightarrow x^2+(y+2)^2 = (y-2)^2
Expandindo e simplificando:
x^2 + y^2 + 4y + 4 = y^2 - 4y + 4 Longrightarrow x^2 + 4y = -4y Longrightarrow x^2 + 8y = 0

Resposta

A equação da parábola é
x^2 + 8y = 0

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