Encontre a solução geral das EDOs:
y^prime prime+2,6 y^prime+1,69 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 2,6,y' + 1,69,y = 0
O método consistirá em assumir uma solução do tipo y = e^r x, montar o polinômio característico, encontrar suas raízes e então escrever a solução geral conforme o caso das raízes (reais distintas, iguais ou complexas).

Passo 2

Assumindo y=e^r x, temos
y' = r e^r x, y'' = r^2 e^r x
Substituindo na EDO e dividindo por e^r xneq0 obtém-se o polinômio característico
r^2 + 2,6,r + 1,69 = 0

Passo 3

Calculemos o discriminante De<a:
De<a = (2,6)^2 - 4cdot1cdot1,69 = 6,76 - 6,76 = 0
Como De<a=0, o polinômio tem raiz real dupla.

Passo 4

A raiz é
r = -2,6 pm raiz02 = -2,62 = -1,3

Passo 5

Para raiz dupla r=-1,3, a solução geral da EDO homogênea é
y(x) = l(C1 + C2,xr),e^-1,3x,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = l(C1 + C2,xr),e^-1,3x

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