Find the vertex, focus, and directrix of the parabola and sketch its graph.
5. (x+2)^2=8(y-3)

Passo 1

O enunciado dá a parábola
(x+2)^2=8(y-3)
e pede vértice, foco, diretriz e esboço do gráfico. O conteúdo é seção cônica do tipo parábola, e vamos usar a forma canônica
(x-h)^2=4p,(y-k)
para identificar o vértice (h,k), o parâmetro p, o foco e a diretriz.

Passo 2

Comparando
(x+2)^2=8(y-3)
com
(x-h)^2=4p,(y-k)
vemos que
h=-2, k=3, 4p=8;Longrightarrow;p=2

Passo 3

Com h=-2, k=3 e p=2:
– Vértice: (h,k)=(-2,3).
– Foco: (h,;k+p)=(-2,,3+2)=(-2,5).
– Diretriz: reta horizontal y=k-p=3-2=1.

Passo 4

Como p=2>0, a parábola abre para cima. O eixo de simetria é a reta x=-2. No esboço marcamos:
– Vértice em (-2,3).
– Foco em (-2,5).
– Diretriz y=1.
A curva sai do vértice e se alarga para cima, sempre simétrica em relação a x=-2.

Resposta

Vértice: (-2,3)
Foco: (-2,5)
Diretriz: y=1

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