Find the vertex, focus, and directrix of the parabola and sketch its graph.
8. y+12 x-2 x^2=16

Passo 1

O enunciado nos dá a parábola
y + 12x - 2x^2 = 16
e pede o vértice, o foco, a diretriz e um esboço do gráfico.
O conteúdo envolvido é análise de parábolas: primeiro isolamos y e completamos o quadrado para encontrar o vértice, depois colocamos na forma padrão (x-h)^2=4p(y-k) para achar p, e então determinamos foco e diretriz.

Passo 2

Isolando y e completando o quadrado:
y + 12x - 2x^2 = 16
y = 2x^2 - 12x + 16
y = 2l(x^2 - 6xr) + 16
y = 2l((x-3)^2 - 9r) + 16
y = 2(x-3)^2 - 18 + 16
y = 2(x-3)^2 - 2
Dessa forma, identificamos o vértice (h,k)=(3,-2).

Passo 3

Colocamos em forma padrão de parábola vertical:
y + 2 = 2(x-3)^2
(x-3)^2 = 12(y + 2)
Comparando com
(x-h)^2 = 4p,(y-k),
vemos que 4p = tfrac12, logo
p = 18

Passo 4

Sabendo p=tfrac18, o foco está em
(h,,k+p) = l(3,,-2 + tfrac18r) = l(3,,-tfrac158r),
e a diretriz é a reta horizontal
y = k - p = -2 - tfrac18 = -tfrac178

Passo 5

Esboço do gráfico:
– O vértice em (3,-2).
– A parábola abre para cima (coeficiente de x^2 positivo).
– Eixo de simetria vertical x=3.
– Foco logo acima do vértice, em l(3,-tfrac158r).
– Diretriz abaixo do vértice, na reta y=-tfrac178.

Resposta

Vértice: (3,-2)
Foco: l(3,-tfrac158r)
Diretriz: y = -tfrac178

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