Encontre a solução geral das EDO’s.
y^prime prime-2 y^prime-3 y=3 e^2 t.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea
y'' - 2y' - 3y = 3e^2t
O que vamos precisar é:
  1. Resolver a equação homogênea associada usando a equação característica.
  2. Encontrar uma solução particular para o termo forçante 3e^2t.
  3. Somar as duas partes para ter a solução geral.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos
y'' - 2y' - 3y = 0
A equação característica é
r^2 - 2r - 3 = 0,
cuja fatoração é (r-3)(r+1)=0. Logo as raízes são
r1 = 3, r2 = -1
Isso gera a solução homogênea
yh(t) = C1 e^3t + C2 e^-t,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Como o termo não homogêneo é 3e^2t e 2 não é raiz da característica, tentamos
yp(t) = A e^2t
Calculamos as derivadas:
yp' = 2A e^2t, yp'' = 4A e^2t
Substituindo em y'' - 2y' - 3y = 3e^2t:
4A e^2t - 2l(2A e^2tr) - 3l(A e^2tr) = (4A - 4A - 3A)e^2t = -3A e^2t
Para igualar a 3e^2t precisamos de
-3A = 3Longrightarrow A = -1
Assim
yp(t) = -e^2t

Passo 4

A solução geral é a soma da parte homogênea com a particular:
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 e^3t + C2 e^-t - e^2t

Resposta

boxedy(t) = C1 e^3t + C2 e^-t - e^2t,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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