Encontre a solução geral da equação 100 x+72 y+90 z=6.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
100x+72y+90z=6
e pede a solução geral. Assumir que x,y,z são números inteiros e que queremos todas as tuplas inteiras (x,y,z) que satisfazem a equação. As informações relevantes são os coeficientes 100, 72, 90 e o termo independente 6.

Passo 2

Verificar se há soluções inteiras começa por calcular o máximo divisor comum dos coeficientes. Calcular \gcd(100,72,90).
Primeiro
\gcd(100,72)=4,
pois 100=4\cdot25 e 72=4\cdot18.
Depois
\gcd(4,90)=2,
pois 90 é múltiplo de 2 mas não de 4. Portanto
\gcd(100,72,90)=2.

Passo 3

Condição de existência: uma equação linear inteira a x+b y+c z=d tem solução inteira somente se \gcd(a,b,c) divide d. Aqui \gcd=2 e 2 divide 6, logo há soluções inteiras.
Para simplificar, dividimos toda a equação por 2:
50x+36y+45z=3.

Passo 4

Agora vamos achar a solução geral de
50x+36y+45z=3.
Como há três incógnitas e uma equação, esperamos duas variáveis livres (dois parâmetros inteiros). Estratégia: escolher duas variáveis como parâmetros (aqui usaremos parâmetros inteiros p e q equivalentes a escolhas para z e um outro ajuste), resolver a congruência modular que garante que x seja inteiro, e então obter x.
Reescrevendo para isolar x:
50x = 3 - 36y - 45z.
Para que x seja inteiro é necessário e suficiente que 3-36y-45z seja múltiplo de 50. Em termos de congruência:
36y+45z \equiv 3 \pmod{50}.

Passo 5

Resolver a congruência \;36y+45z\equiv3\pmod{50}.
Reduzimos coeficientes módulo 50:
36 \equiv -14\pmod{50},\qquad 45\equiv -5\pmod{50},
então a congruência vira
-14y-5z\equiv 3\pmod{50},
ou
14y+5z\equiv -3\equiv 47\pmod{50}.
Observe que \gcd(14,50)=2. Para que essa congruência tenha solução, o lado direito deve ser congruente com algo que possa ser produzido por 14y (um número par). Logo o lado direito precisa ser par. Isso impõe que 47-5z seja par, ou seja 5z tem paridade ímpar; como 5z tem a mesma paridade de z, concluímos que z deve ser ímpar. Então escrevemos
z=2k+1,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Substituindo z=2k+1 em \;14y+5z\equiv47\pmod{50}:
14y+5(2k+1)\equiv47\pmod{50}
14y+10k+5\equiv47\pmod{50}
14y\equiv 42-10k\pmod{50}.
Como 14y e o módulo 50 têm fator comum 2, dividimos a congruência inteira por 2 (isto é permitido porque o lado direito também é par, já que z foi escolhido ímpar), obtendo uma congruência módulo 25:
7y\equiv 21-5k\pmod{25}.
Agora 7 é invertível módulo 25 (pois \gcd(7,25)=1). O inverso de 7 mod 25 é 18 porque 7\cdot18=126\equiv1\pmod{25}. Multiplicando ambos os lados por 18:
y\equiv 18(21-5k)\pmod{25}.
Calcule 18(21-5k) módulo 25: 18\cdot21=378\equiv 3\pmod{25} e 18\cdot(-5k)=-90k\equiv 10k\pmod{25} (pois -90\equiv10). Assim
y\equiv 3+10k\pmod{25}.
Logo podemos escrever y na forma
y=3+10k+25t,
com k,t\in\mathbb{Z}. (Aqui k é o mesmo parâmetro que entrou em z=2k+1, e t é um novo parâmetro inteiro.)

Passo 6

Agora substituímos z=2k+1 e y=3+10k+25t na equação para obter x.
Calculemos 36y+45z:
36y=36(3+10k+25t)=108+360k+900t,
45z=45(2k+1)=90k+45.
Somando:
36y+45z=108+360k+900t+90k+45=153+450k+900t.
Então
50x=3-(36y+45z)=3-(153+450k+900t)=-150-450k-900t.
Dividindo por 50:
x=-3-9k-18t.
Portanto obtemos expressões inteiras para x,y,z em função de k,t\in\mathbb{Z}:
\begin{aligned} x &= -3-9k-18t,\\\ y &= 3+10k+25t,\\\ z &= 2k+1. \end{aligned}

Passo 7

Interpretando de forma estruturada: escolhemos dois parâmetros inteiros k,t. Uma solução particular é obtida para k=t=0:
(x,y,z)=(-3,3,1),
que satisfaz 100(-3)+72\cdot3+90\cdot1= -300+216+90=6.
As direções (vetores da solução homogênea) correspondentes aos parâmetros k e t são:
  • para variar k (fixando t): incremento (-9,10,2);
  • para variar t (fixando k): incremento (-18,25,0).
Assim a solução geral pode também ser escrita como combinação linear:
(x,y,z)=(-3,3,1)+k(-9,10,2)+t(-18,25,0),\qquad k,t\in\mathbb{Z}.

Resposta

x=-3-9k-18t
y=3+10k+25t
z=2k+1
onde k,t\in\mathbb{Z}.

Exercícios relacionados