Determinar as duas menores frações positivas que tenham 13 e 17 para denominadores e cuja soma seja igual a 305/221.

Passo 1

O enunciado pede que se determine duas frações positivas, uma com denominador 13 e outra com denominador 17, ambas “menores” (ou seja, frações próprias — numerador menor que o denominador), cuja soma seja igual a \dfrac{305}{221}.
Informações relevantes dadas:
  • Uma fração tem denominador 13; chamo seu numerador de x, então essa fração é \dfrac{x}{13}.
  • A outra fração tem denominador 17; chamo seu numerador de y, então essa fração é \dfrac{y}{17}.
  • Ambas são positivas e próprias, logo 1 \le x \le 12 e 1 \le y \le 16.
  • A soma é
\frac{x}{13}+\frac{y}{17}=\frac{305}{221}.

Passo 2

Transformar a equação das frações numa equação inteira (Diophantina). Justificativa: como os denominadores são 13 e 17 e 221=13\cdot17, multiplicar ambos os lados por 221 elimina os denominadores e dá uma equação em inteiros.
Multiplicando:
221\left(\frac{x}{13}+\frac{y}{17}\right)=221\cdot\frac{305}{221}.
Como 221=13\cdot17, temos 221\cdot\frac{x}{13}=17x e 221\cdot\frac{y}{17}=13y. Portanto obtemos a equação inteira
17x+13y=305.
Neste passo definimos claramente a equação inteira que os numeradores x,y devem satisfazer, com as restrições 1\le x\le12 e 1\le y\le16.

Passo 3

Resolver a equação Diofantina 17x+13y=305 procurando soluções inteiras positivas dentro dos intervalos indicados. Vou usar congruências para encontrar x rapidamente.
Tomando a equação módulo 13:
17x+13y\equiv305\pmod{13}.
Como 13y\equiv0\pmod{13} e 17\equiv4\pmod{13}, obtemos
4x\equiv305\pmod{13}.
Calcular 305\bmod 13: 13\cdot23=299, então 305\equiv305-299=6\pmod{13}. Assim
4x\equiv6\pmod{13}.
Para resolver 4x\equiv6\pmod{13} precisamos do inverso de 4 módulo 13. Verificamos que 4\cdot10=40\equiv1\pmod{13}, então 4^{-1}\equiv10\pmod{13}. Multiplicando ambos os lados por 10,
x\equiv6\cdot10\equiv60\pmod{13}.
Como 60=13\cdot4+8, temos x\equiv8\pmod{13}. Ou seja, as soluções inteiras para x são da forma
x=8+13t\quad\text{para }t\in\mathbb{Z}.
Agora usamos a restrição 1\le x\le12. Entre os valores da forma 8+13t x=8 (quando t=0) cai nesse intervalo. Portanto
x=8.

Passo 4

Encontrar y substituindo x=8 na equação inteira 17x+13y=305.
Calcular 17\cdot8:
17\cdot8=136.
Então
13y=305-136=169.
Dividindo por 13:
y=\frac{169}{13}=13.
Verificar a restrição: 1\le y\le16. Como y=13 satisfaz, a solução inteira dentro das restrições é válida.

Passo 5

Verificação direta da soma (checar para evitar erro aritmético):
Calcular a soma \dfrac{8}{13}+\dfrac{13}{17} com denominador comum 221:
\frac{8}{13}+\frac{13}{17}=\frac{8\cdot17+13\cdot13}{221}=\frac{136+169}{221}=\frac{305}{221},
que é exatamente a soma pedida. Portanto as frações encontram-se corretas.
Também confirmar que ambas são próprias e positivas: \dfrac{8}{13}<1 e \dfrac{13}{17}<1, e numeradores inteiros positivos.

Resposta

\dfrac{8}{13}
\dfrac{13}{17}

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