Determinar as duas menores frações positivas que tenham 13 e 17 para denominadores e cuja soma seja igual a 305/221.
Passo 1
O enunciado pede que se determine duas frações positivas, uma com denominador
e outra com denominador
, ambas “menores” (ou seja, frações próprias — numerador menor que o denominador), cuja soma seja igual a
.
Informações relevantes dadas:
- Uma fração tem denominador
; chamo seu numerador de , então essa fração é . - A outra fração tem denominador
; chamo seu numerador de , então essa fração é . - Ambas são positivas e próprias, logo
e . - A soma é
Passo 2
Transformar a equação das frações numa equação inteira (Diophantina). Justificativa: como os denominadores são
e
e
, multiplicar ambos os lados por
elimina os denominadores e dá uma equação em inteiros.
Multiplicando:
Como
, temos
e
. Portanto obtemos a equação inteira
Neste passo definimos claramente a equação inteira que os numeradores
devem satisfazer, com as restrições
e
.
Passo 3
Resolver a equação Diofantina
procurando soluções inteiras positivas dentro dos intervalos indicados. Vou usar congruências para encontrar
rapidamente.
Tomando a equação módulo
:
Como
e
, obtemos
Calcular
:
, então
. Assim
Para resolver
precisamos do inverso de
módulo
. Verificamos que
, então
. Multiplicando ambos os lados por
,
Como
, temos
. Ou seja, as soluções inteiras para
são da forma
Agora usamos a restrição
. Entre os valores da forma
só
(quando
) cai nesse intervalo. Portanto
Passo 4
Encontrar
substituindo
na equação inteira
.
Calcular
:
Então
Dividindo por
:
Verificar a restrição:
. Como
satisfaz, a solução inteira dentro das restrições é válida.
Passo 5
Verificação direta da soma (checar para evitar erro aritmético):
Calcular a soma
com denominador comum
:
que é exatamente a soma pedida. Portanto as frações encontram-se corretas.
Também confirmar que ambas são próprias e positivas:
e
, e numeradores inteiros positivos.