Demonstrar que, se a e b são primos entre si, então a equação diofantina ax + by =\mathrm{c} tem um número infinito de soluções inteiras e positivas.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • a e b são inteiros tais que \gcd(a,b)=1 (ou seja, são primos entre si).
  • c é um inteiro qualquer.
  • Considera-se a equação diofantina linear
ax+by=c,
onde x e y são incógnitas inteiras (o enunciado pede soluções “inteiras e positivas”).
O que se pede (segundo o enunciado): demonstrar que a equação acima tem um número infinito de soluções inteiras e positivas.
Observação: a seguir vou primeiro mostrar corretamente que, quando \gcd(a,b)=1, a equação tem infinitas soluções inteiras (isto é, com x,y\in\mathbb{Z}). Depois vou analisar a parte “positivas” e mostrar como determinar quando existem soluções com x,y>0 e quantas podem existir. Isso porque a afirmação literal “infinitas soluções inteiras e positivas” para um mesmo c e a,b>0 costuma ser falsa em geral — vou explicar por quê e dar exemplos.

Passo 2

Existência de uma solução inteira particular (identidade de Bézout).
Teorema útil (identidade de Bézout): se \gcd(a,b)=1 então existem inteiros u e v tais que
au + bv = 1.
Explicação e pequena prova da identidade de Bézout (modo elementar): considere o conjunto
S=\{\,au + bv \mid u,v\in\mathbb{Z},\\ au+bv>0\,\}.
Esse conjunto de inteiros positivos é não vazio (por exemplo a^2+ b^2 está nele), logo tem um menor elemento d. Mostra-se que d divide a e b usando divisão com resto: ao dividir a por d o resto pode ser escrito como combinação linear de a e b e, pela minimalidade, esse resto tem de ser zero; portanto d\mid a e, analogamente, d\mid b. Assim d é um divisor comum de a e b. Como \gcd(a,b)=1, segue d=1. Mas d foi obtido como combinação au+bv, logo existe combinação que vale 1: au+bv=1. Isso é a identidade de Bézout.
Multiplicando a identidade de Bézout por c obtemos uma solução particular para a nossa equação:
a(cu)+b(cv)=c.
Logo (x_0,y_0)=(cu,cv) é uma solução inteira particular de ax+by=c.

Passo 3

Caracterização de todas as soluções inteiras (família de todas as soluções).
Se (x_0,y_0) é uma solução particular, qualquer outra solução inteira (x,y) satisfaz
a(x-x_0)+b(y-y_0)=0.
Isso implica
a(x-x_0)=-b(y-y_0).
Do lado direito aparece um múltiplo de b. Como \gcd(a,b)=1, o fato de a dividir b(y-y_0) força a a dividir y-y_0. Logo existe k\in\mathbb{Z} tal que
y-y_0 = a k.
Substituindo de volta, obtemos
x-x_0 = -b k.
Portanto todas as soluções inteiras vêm da parametrização
x = x_0 - b k,\qquad y = y_0 + a k,
onde k varia em \mathbb{Z}. (Alternativamente escrevendo t=-k dá a forma equivalente
x = x_0 + b t,\qquad y = y_0 - a t,\qquad t\in\mathbb{Z}.)

Passo 4

Conclusão: existência de infinitas soluções inteiras.
A parametrização do passo anterior mostra que, ao variar k por todos os inteiros, obtemos infinitas soluções distintas (x,y)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}. Logo, para quaisquer a,b com \gcd(a,b)=1 e qualquer inteiro c, a equação ax+by=c tem infinitas soluções em inteiros.
Exemplo rápido para fixar a ideia: se a=2,b=3,c=1, a identidade de Bézout dá 2\cdot(-1)+3\cdot1=1, logo (x_0,y_0)=(-1,1) e a família é
x=-1-3k,\qquad y=1+2k,\qquad k\in\mathbb{Z},
que são infinitas soluções inteiras.

Passo 5

Análise das soluções estritamente positivas ( x>0,\\ y>0).
Agora a parte “positivas”: supondo que queremos x>0 e y>0 simultaneamente, usamos a forma
x = x_0 + b t,\qquad y = y_0 - a t,\qquad t\in\mathbb{Z},
com uma escolha de solução particular (x_0,y_0). Para que x>0 e y>0 precisamos de
x_0 + b t > 0 \quad\text{e}\quad y_0 - a t > 0.
Isto é equivalente a
t > -\frac{x_0}{b}\qquad\text{e}\qquad t < \frac{y_0}{a}.
Portanto os inteiros t admissíveis são exatamente os inteiros contidos no intervalo aberto
\Bigl(-\frac{x_0}{b},\\ \frac{y_0}{a}\Bigr).
Esse intervalo tem comprimento finito \dfrac{y_0}{a}+\dfrac{x_0}{b}. Assim só existem, no máximo, um número finito de inteiros t nele — logo, em geral, existe um número finito (possivelmente zero) de soluções com x>0 e y>0. Em particular, para a,b>0 fixos e c fixo a quantidade de soluções positivas é finita (ex.: para a=2,b=3,c=5 há exatamente uma solução positiva (1,1); para a=1,b=1,c=10 9 soluções positivas (1,9),(2,8),\dots,(9,1)).
Portanto a afirmação literal do enunciado — que existem infinitas soluções inteiras e positivas — não é verdadeira em geral para a,b>0 e c fixo. A versão correta é:
  • se \gcd(a,b)=1 então a equação ax+by=c tem infinitas soluções inteiras (isto é, em \mathbb{Z}\times\mathbb{Z});
  • porém, as soluções com x>0 e y>0 (se existirem) formam um conjunto finito determinado pelas desigualdades acima.

Passo 6

Exemplos ilustrativos (rápido):
  • Exemplo 1: a=2,b=3,c=5. Uma solução particular é (x_0,y_0)=(1,1). A família é x=1+3t,\\ y=1-2t. A condição positiva dá 1+3t>0 e 1-2t>0, que só são simultaneamente verdadeiras para t=0. Logo exatamente uma solução positiva.
  • Exemplo 2: a=1,b=1,c=10. Toda solução inteira é x=t,\\ y=10-t. Para 1\le t\le9 obtemos as 9 soluções positivas — finitas.

Resposta

A equação ax+by=c com \gcd(a,b)=1 tem infinitas soluções em inteiros (x,y). Em geral a equação tem apenas um número finito (podendo ser zero) de soluções com x>0 e y>0; a condição para positividade é que o parâmetro t na família
x=x_0+bt,\qquad y=y_0-at,\qquad t\in\mathbb{Z},
satisfa -\dfrac{x_0}{b}<t<\dfrac{y_0}{a}, o que dá um conjunto finito de inteiros t.

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