Demonstrar que, se a e b são primos entre si, então a equação diofantina ax + by
tem um número infinito de soluções inteiras e positivas.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
e são inteiros tais que (ou seja, são primos entre si). -
é um inteiro qualquer. - Considera-se a equação diofantina linear
onde
e
são incógnitas inteiras (o enunciado pede soluções “inteiras e positivas”).
O que se pede (segundo o enunciado): demonstrar que a equação acima tem um número infinito de soluções inteiras e positivas.
Observação: a seguir vou primeiro mostrar corretamente que, quando
, a equação tem infinitas soluções inteiras (isto é, com
). Depois vou analisar a parte “positivas” e mostrar como determinar quando existem soluções com
e quantas podem existir. Isso porque a afirmação literal “infinitas soluções inteiras e positivas” para um mesmo
e
costuma ser falsa em geral — vou explicar por quê e dar exemplos.
Passo 2
Existência de uma solução inteira particular (identidade de Bézout).
Teorema útil (identidade de Bézout): se então existem inteiros
e
tais que
Teorema útil (identidade de Bézout): se
Explicação e pequena prova da identidade de Bézout (modo elementar): considere o conjunto
Esse conjunto de inteiros positivos é não vazio (por exemplo
está nele), logo tem um menor elemento
. Mostra-se que
divide
e
usando divisão com resto: ao dividir
por
o resto pode ser escrito como combinação linear de
e
e, pela minimalidade, esse resto tem de ser zero; portanto
e, analogamente,
. Assim
é um divisor comum de
e
. Como
, segue
. Mas
foi obtido como combinação
, logo existe combinação que vale
:
. Isso é a identidade de Bézout.
Multiplicando a identidade de Bézout por
obtemos uma solução particular para a nossa equação:
Logo
é uma solução inteira particular de
.
Passo 3
Caracterização de todas as soluções inteiras (família de todas as soluções).
Se é uma solução particular, qualquer outra solução inteira
satisfaz
Se
Isso implica
Do lado direito aparece um múltiplo de
. Como
, o fato de
dividir
força
a dividir
. Logo existe
tal que
Substituindo de volta, obtemos
Portanto todas as soluções inteiras vêm da parametrização
onde
varia em
. (Alternativamente escrevendo
dá a forma equivalente
Passo 4
Conclusão: existência de infinitas soluções inteiras.
A parametrização do passo anterior mostra que, ao variar por todos os inteiros, obtemos infinitas soluções distintas
. Logo, para quaisquer
com
e qualquer inteiro
, a equação
tem infinitas soluções em inteiros.
A parametrização do passo anterior mostra que, ao variar
Exemplo rápido para fixar a ideia: se
, a identidade de Bézout dá
, logo
e a família é
que são infinitas soluções inteiras.
Passo 5
Análise das soluções estritamente positivas (
).
Agora a parte “positivas”: supondo que queremos e
simultaneamente, usamos a forma
Agora a parte “positivas”: supondo que queremos
com uma escolha de solução particular
. Para que
e
precisamos de
Isto é equivalente a
Portanto os inteiros
admissíveis são exatamente os inteiros contidos no intervalo aberto
Esse intervalo tem comprimento finito
. Assim só existem, no máximo, um número finito de inteiros
nele — logo, em geral, existe um número finito (possivelmente zero) de soluções com
e
. Em particular, para
fixos e
fixo a quantidade de soluções positivas é finita (ex.: para
há exatamente uma solução positiva
; para
há
soluções positivas
).
Portanto a afirmação literal do enunciado — que existem infinitas soluções inteiras e positivas — não é verdadeira em geral para
e
fixo. A versão correta é:
- se
então a equação tem infinitas soluções inteiras (isto é, em ); - porém, as soluções com
e (se existirem) formam um conjunto finito determinado pelas desigualdades acima.
Passo 6
Exemplos ilustrativos (rápido):
- Exemplo 1:
. Uma solução particular é . A família é . A condição positiva dá e , que só são simultaneamente verdadeiras para . Logo exatamente uma solução positiva. - Exemplo 2:
. Toda solução inteira é . Para obtemos as soluções positivas — finitas.
Resposta
A equação
com
tem infinitas soluções em inteiros
. Em geral a equação tem apenas um número finito (podendo ser zero) de soluções com
e
; a condição para positividade é que o parâmetro
na família
satisfa
, o que dá um conjunto finito de inteiros
.