(1,0) Encontre a solução geral da equação. Apresente os principais passos da resolução nesta folha. x y^{\prime}-2 y=x^{4} e^{x}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x\,y' - 2\,y = x^{4}e^{x}
que é uma equação linear de primeira ordem. Para resolver, vamos pôr na forma padrão
y' + P(x)\,y = Q(x)
e usar fator integrante.

Passo 2

Dividimos a equação original por x (supondo x\neq 0) para obter
y' - \frac{2}{x}\,y = x^{3}e^{x}.
Aqui identificamos
P(x) = -\frac{2}{x}, \quad Q(x) = x^{3}e^{x}.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
\mu(x) = \exp\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr) = \exp\Bigl(\int -\frac{2}{x}\,dx\Bigr) = \exp\bigl(-2\ln|x|\bigr) = x^{-2}.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação padronizada por \mu(x)=x^{-2}:
x^{-2}y' - 2x^{-3}y = x^{-2}\bigl(x^{3}e^{x}\bigr) \;\Longrightarrow\; x^{-2}y' - 2x^{-3}y = x\,e^{x}.
O lado esquerdo é exatamente a derivada de x^{-2}y, pois
\frac{d}{dx}\bigl(x^{-2}y\bigr) = x^{-2}y' + y\,\frac{d}{dx}(x^{-2}) = x^{-2}y' -2x^{-3}y.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\bigl(x^{-2}y\bigr)\,dx = \int x\,e^{x}\,dx \;\Longrightarrow\; x^{-2}y = \int x e^{x}dx.
Para \int x e^{x}dx usamos integração por partes com u=x, dv=e^{x}dx, obtendo
\int x e^{x}dx = x e^{x} - \int e^{x}dx = x e^{x} - e^{x} + C = e^{x}(x-1) + C.
Logo
x^{-2}y = e^{x}(x-1) + C.

Passo 6

Multiplicamos por x^{2} para isolar y:
y = x^{2}\,e^{x}(x-1) + C\,x^{2} = e^{x}(x^{3}-x^{2}) + C\,x^{2}.

Resposta

A solução geral é
y = e^{x}\bigl(x^{3}-x^{2}\bigr) + C\,x^{2},
onde C é constante arbitrária.

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