(2,0) Esta equação não é exata. Entretanto, pode se tornar exata se for multiplicada por um fator integrante que depende apenas de y. Encontre-o e determine a solução geral da equação.
3 x^{2} d x+\left(\frac{2 x^{3}}{y}+6\right) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
3x^{2}\,dx+\Bigl(\frac{2x^{3}}{y}+6\Bigr)\,dy=0
e pede um fator integrante \mu que dependa só de y, tornando-a exata. O conteúdo envolvido é equações exatas e fator integrante do tipo \mu(y). Vamos usar a condição
\frac{\partial N/\partial x-\partial M/\partial y}{M}=\text{função de }yçã
para encontrar \mu(y), depois resolver a equação exata resultante.

Passo 2

Identificamos
M(x,y)=3x^{2},\quad N(x,y)=\frac{2x^{3}}{y}+6.
Calculamos
\frac{\partial M}{\partial y}=0, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{2x^{3}}{y}+6\Bigr) =\frac{6x^{2}}{y}.
Logo
\frac{\partial N/\partial x-\partial M/\partial y}{M} =\frac{\frac{6x^{2}}{y}-0}{3x^{2}} =\frac{6x^{2}/y}{3x^{2}} =\frac{2}{y},
que depende apenas de y. Isso indica um fator integrante \mu(y).

Passo 3

O fator integrante \mu(y) satisfaz
\frac{d\ln\mu}{dy}=\frac{2}{y} \quad\Longrightarrow\quad \ln\mu=2\ln y \quad\Longrightarrow\quad \mu(y)=y^{2}.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por y^{2}, obtendo
3x^{2}y^{2}\,dx+\Bigl(2x^{3}y+6y^{2}\Bigr)\,dy=0.
Agora M^{*}=3x^{2}y^{2} e N^{*}=2x^{3}y+6y^{2}. Verificamos que
\frac{\partial M^{*}}{\partial y}=6x^{2}y, \qquad \frac{\partial N^{*}}{\partial x}=6x^{2}y,
logo a equação é exata. Existe uma função potencial \psi(x,y) tal que
\frac{\partial \psi}{\partial x}=M^{*}, \qquad \frac{\partial \psi}{\partial y}=N^{*}.

Passo 5

Integramos \partial \psi/\partial x=3x^{2}y^{2} em x:
\psi(x,y)=\int 3x^{2}y^{2}\,dx =x^{3}y^{2}+h(y).
Derivando em y e igualando a N^{*}:
\frac{\partial \psi}{\partial y} =2x^{3}y+h'(y) \overset{!}{=}2x^{3}y+6y^{2} \quad\Longrightarrow\quad h'(y)=6y^{2} \quad\Longrightarrow\quad h(y)=2y^{3}.
Assim
\psi(x,y)=x^{3}y^{2}+2y^{3},
e a solução geral fica
\boxed{x^{3}y^{2}+2y^{3}=C.}

Resposta

O fator integrante é \mu(y)=y^{2} e a solução geral é
x^{3}y^{2}+2y^{3}=C.

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