Esta equação não é exata. Entretanto, pode se tornar exata se for multiplicada por um fator integrante que depende apenas de
. Encontre-o e determine a solução geral da equação.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede um fator integrante
que dependa só de
, tornando-a exata. O conteúdo envolvido é equações exatas e fator integrante do tipo
. Vamos usar a condição
para encontrar
, depois resolver a equação exata resultante.
Passo 2
Identificamos
Calculamos
Logo
que depende apenas de
. Isso indica um fator integrante
.
Passo 3
O fator integrante
satisfaz
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
, obtendo
Agora
e
. Verificamos que
logo a equação é exata. Existe uma função potencial
tal que
Passo 5
Integramos
em
:
Derivando em
e igualando a
:
Assim
e a solução geral fica
Resposta
O fator integrante é
e a solução geral é