(1,0) Resolva o problema de valor inicial. Apresente os principais passos da resolução nesta folha.
y^{\prime}=2 y \cos (2 x)
y(0)=3

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y' = 2\,y\cos(2x),
com condição y(0)=3. O conteúdo é uma EDO separável de primeira ordem. Para resolver vamos separar variáveis e integrar.

Passo 2

Separemos as variáveis y e x:
\frac{dy}{y} = 2\cos(2x)\,dx.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int \frac{dy}{y} = \int 2\cos(2x)\,dx
isso leva a
\ln\lvert y\rvert = \sin(2x) + C,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Expontenciando, obtemos
\lvert y\rvert = e^{\sin(2x)+C} = e^C\,e^{\sin(2x)}.
Como buscamos solução contínua assumimos y=e^C\,e^{\sin(2x)}. Definindo K=e^C, temos
y = K\,e^{\sin(2x)}.

Passo 5

Aplicamos a condição inicial y(0)=3:
y(0)=K\,e^{\sin(0)} = K\cdot e^0 = K = 3.
Logo K=3.

Resposta

A solução do problema de valor inicial é
y(x) = 3\,e^{\sin(2x)}.

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