(1,0) Reescreva esta equação com uma substituição de variáveis que a torne homogênea.
(x+y-1) d x+(y-x-5) d y=0
A equação homogênea é: \qquad

Passo 1

O enunciado pede para transformar a equação
(x+y-1)\,dx + (y-x-5)\,dy = 0
numa forma homogênea, ou seja, queremos uma substituição de variáveis que elimine os termos constantes em M(x,y)=x+y-1 e em N(x,y)=y-x-5, de modo que as novas M e N fiquem homogêneas de grau 1.

Passo 2

Para isso, fazemos uma translação do plano:
x = u + a,\quad y = v + b,
com dx = du e dy = dv. Substituindo em M e N, obtemos
M(u+a,v+b) = (u+a)+(v+b)-1 = u+v + (a+b-1),
N(u+a,v+b) = (v+b)-(u+a)-5 = v - u + (b - a - 5).
Queremos cancelar os termos independentes, logo impomos
a + b - 1 = 0, \quad b - a - 5 = 0.
Resolvendo esse sistema,
a = -2, \quad b = 3.

Passo 3

Portanto a substituição é
x = u - 2, \quad y = v + 3,
e, em função de u,v, a equação passa a ser homogênea de grau 1:
(u+v)\,du + (v-u)\,dv = 0.

Resposta

(u+v)\,du + (v-u)\,dv = 0

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