Encontre a solução geral da equação de Bernoulli
y^prime+1x y=x y^2
fazendo a mudança de variável v=y^-1.

Passo 1

Estamos lidando com uma equação de Bernoulli da forma y' + 1x y = x y^2. O conteúdo aqui é justamente Equação de Bernoulli, e vamos usar a mudança de variável v = y^-1 para transformá-la numa equação linear em v.

Passo 2

Como v = y^-1, temos v' = dvdx = -y^-2y'. Então y' = -y^2 v'. Substituindo na equação original:
-y^2 v' + 1x y = x y^2

Passo 3

Dividindo tudo por y^2 e usando y^-1=v, obtemos
$$-v

Passo 4

\mu(x) = e^{\int -\frac1x dx} = e^{-\ln|x|} = x^{-1}. Muçãx^{-1}v

Passo 5

Integrando em relação a x:
x^-1v = -x + C,
ou seja
v = -x^2 + Cx

Passo 6

Voltando a y pela relação v = y^-1, temos
1y = Cx - x^2 Longrightarrow y = 1Cx - x^2

Resposta

y(x)=1Cx - x^2, com C constante arbitrária.

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