Encontre uma solução geral para a equação de Cauchy-Euler
x^3 y^prime prime prime-3 x^2 y^prime prime+6 x y^prime-6 y=x^-1,=>0

Passo 1

A equação dada é uma equação de Cauchy–Euler de terceira ordem:
$$x{3}y’’’-3x{2}y’’+6xy’-6y = x^{-1},
$$e a ideia é primeiro resolver a parte homogênea e depois achar uma solução particular.

Passo 2

Para a parte homogênea, suponho uma solução do tipo yh = x^m. Substituindo na equação homogênea, obtemos a equação característica
m(m-1)(m-2) - 3m(m-1) + 6m - 6 = 0

Passo 3

Expandindo e simplificando a característica, chega-se a
m^3 - 6m^2 + 11m - 6 = 0
Fatorando, encontramos as raízes m=1,2,3.

Passo 4

Portanto a solução geral da parte homogênea é
yh(x) = C1 x + C2 x^2 + C3 x^3

Passo 5

Para a solução particular, como o termo não-homogêneo é x^-1 e -1 não coincide com as raízes da característica, tento yp = A x^-1. Calculando as derivadas: yp' = -A x^-2, yp'' = 2A x^-3, yp''' = -6A x^-4. Substituindo no LHS:
$$x^3y_p’’’ - 3x^2y_p’’ + 6xy_p’ - 6y_p = -6A x^{-1} - 6A x^{-1} - 6A x^{-1} - 6A x^{-1} = -24A x^{-1}.
$$

Passo 6

Igualando ao termo não-homogêneo x^-1, temos -24A x^-1 = x^-1, logo A = -tfrac124. Assim
yp(x) = -124x^-1

Passo 7

Juntando as duas partes, a solução geral é a soma de yh com yp.

Resposta

y(x) = C1 x + C2 x^2 + C3 x^3 - tfrac124x^-1

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