Encontre uma solução geral para a equação de Cauchy-Euler
Passo 1
A equação dada é uma equação de Cauchy–Euler de terceira ordem:
$$x{3}y’’’-3x{2}y’’+6xy’-6y = x^{-1},
$$e a ideia é primeiro resolver a parte homogênea e depois achar uma solução particular.
Passo 2
Para a parte homogênea, suponho uma solução do tipo
. Substituindo na equação homogênea, obtemos a equação característica
Passo 3
Expandindo e simplificando a característica, chega-se a
Fatorando, encontramos as raízes
Passo 4
Portanto a solução geral da parte homogênea é
Passo 5
Para a solução particular, como o termo não-homogêneo é
e
não coincide com as raízes da característica, tento
. Calculando as derivadas:
,
,
. Substituindo no LHS:
$$x^3y_p’’’ - 3x^2y_p’’ + 6xy_p’ - 6y_p = -6A x^{-1} - 6A x^{-1} - 6A x^{-1} - 6A x^{-1} = -24A x^{-1}.
$$
Passo 6
Igualando ao termo não-homogêneo
, temos
, logo
. Assim
Passo 7
Juntando as duas partes, a solução geral é a soma de
com
.