Encontre a solução geral da equação diferencial abaixo e analise seu comportamento assintótico:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial y’ – 2y = x²
e^{2x} e estudo do comportamento assintótico. É uma EDO linear de primeira ordem, então vamos usar fator integrante.
e^{2x} e estudo do comportamento assintótico. É uma EDO linear de primeira ordem, então vamos usar fator integrante.
Passo 2
Para uma EDO da forma y’ + p(x)
y = q(x), o fator integrante é μ(x)=e^{∫p(x)
dx}. Aqui temos p(x)=–2, logo
y = q(x), o fator integrante é μ(x)=e^{∫p(x)
dx}. Aqui temos p(x)=–2, logo
Passo 3
Multiplicamos a equação original por μ(x):
Passo 4
O lado esquerdo é a derivada do produto μ(x)y, isto é:
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a x:
Passo 6
Isolando y, obtemos a solução geral:
Passo 7
Agora analisamos o comportamento assintótico:
– Quando x→+∞, o termo domina, logo y→+∞.
– Quando x→−∞, apesar de x^3 crescer em módulo, e^{2x} decai muito mais rápido, então y→0.
– Quando x→+∞, o termo
– Quando x→−∞, apesar de x^3 crescer em módulo, e^{2x} decai muito mais rápido, então y→0.
Resposta
A solução geral é
com comportamento assintótico y→+∞ para x→+∞ e y→0 para x→−∞.