Encontre a solução geral da equação diferencial abaixo e analise seu comportamento assintótico:
y^prime-2 y=x^2 e^2 x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial y’ – 2y = x²
e^{2x} e estudo do comportamento assintótico. É uma EDO linear de primeira ordem, então vamos usar fator integrante.

Passo 2

Para uma EDO da forma y’ + p(x)
y = q(x), o fator integrante é μ(x)=e^{∫p(x)
dx}. Aqui temos p(x)=–2, logo
μ(x)=e^integral(-2),dx=e^-2x

Passo 3

Multiplicamos a equação original por μ(x):
e^-2xy' - 2e^-2xy = x^2

Passo 4

O lado esquerdo é a derivada do produto μ(x)y, isto é:
ddxl(e^-2xyr)=x^2

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
e^-2xy=integral x^2,dx=x^33+C

Passo 6

Isolando y, obtemos a solução geral:
y(x)=l(x^33+Cr)e^2x

Passo 7

Agora analisamos o comportamento assintótico:
– Quando x→+∞, o termo x^3e^2x/3 domina, logo y→+∞.
– Quando x→−∞, apesar de x^3 crescer em módulo, e^{2x} decai muito mais rápido, então y→0.

Resposta

A solução geral é
y(x)=l(x^33+Cr)e^2x,
com comportamento assintótico y→+∞ para x→+∞ e y→0 para x→−∞.

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