Exprima como função de x :
a) a área de um triângulo de base x se sua altura é o dobro de sua base.
b) o volume de uma esfera de raio x.
c) o volume de um cone circular reto de raio x se sua altura é o triplo do raio da base.
d) o volume e a área de um cilindro circular reto de raio x sendo sua altura igual a 103 do raio da base.

Passo 1

O enunciado pede quatro expressões como funções de x: a área de um triângulo, o volume de uma esfera, o volume de um cone e tanto o volume quanto a área de um cilindro. Tudo isso envolve fórmulas de geometria plana e espacial: área do triângulo, volume da esfera, volume do cone e volume e área total do cilindro.

Passo 2

Para a área do triângulo usamos a fórmula da área de um triângulo: A=tfracbasecdot a. Aqui a base vale x e a altura é o dobro da base, ou seja, 2x. Substituindo, temos
A(x)=xcdot(2x)2=x^2

Passo 3

O volume de uma esfera de raio x é dado pela fórmula
V(x)=43pi x^3

Passo 4

O volume de um cone circular reto é
V=13pi r^2 h
Como o raio vale x e a altura é o triplo do raio ( h=3x), substituímos e obtemos
V(x)=13pi x^2cdot(3x)=pi x^3

Passo 5

Para o cilindro, o volume é
V=pi r^2 h
e a área total é a soma da área lateral 2pi r h com as duas bases 2pi r^2. Aqui r=x e h=tfrac103x. Substituindo no volume:
V(x)=pi x^2cdot103x=103pi x^3
E na área total:
A(x)=2pi x^2+2pi xcdot103x=2pi x^2+203pi x^2=263pi x^2

Resposta

a) A(x)=x^2
b) V(x)=43pi x^3
c) V(x)=pi x^3
d) V(x)=103pi x^3, \quad A(x)=263pi x^2

Exercícios relacionados