Esboce o campo de direções da equação abaixo e discuta (qualitativamente) o comportamento assintótico (t infty) das soluções:
y^prime=1+y

Passo 1

O exercício pede para esboçar o campo de direções da EDO y'=1+y e discutir qualitativamente o que acontece com y(t) quando ttoinfty. O conteúdo envolve interpretação de campo de direções e análise de estabilidade de soluções de primeira ordem.

Passo 2

Para construir o campo de direções, note que a inclinação em cada ponto (t,y) é m=1+y. Por exemplo, em qualquer ponto com y=-1 temos m=0, ou seja, flechas horizontais. Se y>-1, então m>0 e as flechas apontam para cima, ficando cada vez mais inclinadas à medida que y cresce. Se y<-1, então m<0 e as flechas apontam para baixo, com inclinação negativa maior em módulo conforme y diminui.

Passo 3

O valor y=-1 é uma solução constante (equilíbrio), pois y'=1+(-1)=0. Como em qualquer pequena perturbação y>-1 a inclinação não zera, as soluções afastam-se dessa reta: se y<-1 acabam subindo mais, e se y=-1 descem mais. Logo, é um ponto de equilíbrio instável.

Passo 4

Para entender o comportamento assintótico, resolvemos a EDO por separação de variáveis:
dydt=y+1Rightarrowdyy+1=dt,
Integrando,
ln|y+1|=t+CRightarrow y+1=Ce^t,
onde C é constante determinada pela condição inicial. Assim,
y(t)=Ce^t-1

Passo 5

Daí, quando ttoinfty: se C>0, então y(t)to+infty; se C<0, então y(t)to-infty; e se C=0, ficamos em yequiv-1.

Resposta

O campo de direções mostra flechas horizontais em y=-1, ascendentes para y>-1 e descendentes para y<-1. A única reta de equilíbrio é y=-1, que é instável. As soluções gerais são y(t)=Ce^t-1, de modo que para ttoinfty elas divergem exponencialmente: vão a +∞ se C>0, a −∞ se C<0 e permanecem em −1 se C=0.

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