Esboce o campo de direções da equação abaixo e discuta (qualitativamente) o comportamento assintótico
das soluções:
Passo 1
O exercício pede para esboçar o campo de direções da EDO
e discutir qualitativamente o que acontece com
quando
. O conteúdo envolve interpretação de campo de direções e análise de estabilidade de soluções de primeira ordem.
Passo 2
Para construir o campo de direções, note que a inclinação em cada ponto
é
. Por exemplo, em qualquer ponto com
temos
, ou seja, flechas horizontais. Se
, então
e as flechas apontam para cima, ficando cada vez mais inclinadas à medida que
cresce. Se
, então
e as flechas apontam para baixo, com inclinação negativa maior em módulo conforme
diminui.
Passo 3
O valor
é uma solução constante (equilíbrio), pois
. Como em qualquer pequena perturbação
a inclinação não zera, as soluções afastam-se dessa reta: se
acabam subindo mais, e se
descem mais. Logo,
é um ponto de equilíbrio instável.
Passo 4
Para entender o comportamento assintótico, resolvemos a EDO por separação de variáveis:
Integrando,
onde
é constante determinada pela condição inicial. Assim,
Passo 5
Daí, quando
: se
, então
; se
, então
; e se
, ficamos em
.
Resposta
O campo de direções mostra flechas horizontais em
, ascendentes para
e descendentes para
. A única reta de equilíbrio é
, que é instável. As soluções gerais são
, de modo que para
elas divergem exponencialmente: vão a +∞ se
, a −∞ se
e permanecem em −1 se
.