Obtenha a solução particular da equação diferencial não-homogênea abaixo usando o método de sua preferência.
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente achar uma solução particular de uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes, que é:
Conteúdo envolvido: equações diferenciais lineares não-homogêneas e o método dos coeficientes a determinar (undetermined coefficients). A gente vai precisar saber:
- O que é uma “solução particular” (uma função que satisfaça a parte não-homogênea),
- Como escolher uma forma de palpite (ansatz) baseada no tipo do lado direito (aqui um polinômio),
- Como derivar esse palpite e igualar coeficientes pra encontrar constantes.
Passo 2
Como o termo não-homogêneo
é um polinômio de grau 2, pelo método dos coeficientes a determinar a gente “chuta” uma solução particular também polinomial do mesmo grau:
onde
,
e
são constantes que a gente vai descobrir.
Passo 3
Agora calculamos as derivadas de
:
Lembra que precisamos disso pra inserir na equação original.
Passo 4
Substituímos
,
e
em
.
Fica:
Fica:
Vamos expandir e juntar termos iguais em potências de
:
Esquerda =
Isso deve ser exatamente igual a
, ou seja:
Passo 5
Resolvendo esse sistema para
,
e
:
Resposta
A solução particular da equação diferencial é