Obtenha a solução particular da equação diferencial não-homogênea abaixo usando o método de sua preferência.
d^2 yd t^2+2 d yd t-3 y=t^2+2 t

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente achar uma solução particular de uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes, que é:
d^2ydt^2 + 2,dydt - 3,y = t^2 + 2t
Conteúdo envolvido: equações diferenciais lineares não-homogêneas e o método dos coeficientes a determinar (undetermined coefficients). A gente vai precisar saber:
  1. O que é uma “solução particular” (uma função que satisfaça a parte não-homogênea),
  2. Como escolher uma forma de palpite (ansatz) baseada no tipo do lado direito (aqui um polinômio),
  3. Como derivar esse palpite e igualar coeficientes pra encontrar constantes.

Passo 2

Como o termo não-homogêneo t^2+2t é um polinômio de grau 2, pelo método dos coeficientes a determinar a gente “chuta” uma solução particular também polinomial do mesmo grau:
yp(t) = A,t^2 + B,t + C,
onde A, B e C são constantes que a gente vai descobrir.

Passo 3

Agora calculamos as derivadas de yp(t):
yp'(t) = 2A,t + B, yp''(t) = 2A
Lembra que precisamos disso pra inserir na equação original.

Passo 4

Substituímos yp, yp' e yp'' em
;y'' + 2y' - 3y = t^2 + 2t.
Fica:
2A ;+; 2,(2A,t + B);-;3,(A,t^2+B,t+C) = t^2+2t
Vamos expandir e juntar termos iguais em potências de t:
Esquerda =
2A + 4A,t + 2B - 3A,t^2 - 3B,t - 3C = (-3A),t^2 + (4A-3B),t + (2A+2B-3C)
Isso deve ser exatamente igual a t^2+2t, ou seja:
-3A = 1, 4A - 3B = 2, 2A + 2B - 3C = 0

Passo 5

Resolvendo esse sistema para A, B e C:
  1. -3A = 1 implies A = -tfrac13
  2. 4A - 3B = 2 implies 4(-tfrac13) - 3B = 2 implies -tfrac43 - 3B = 2 implies -3B = 2 + tfrac43 = tfrac103 implies B = -tfrac109
  3. 2A + 2B - 3C = 0 implies 2(-tfrac13) + 2(-tfrac109) - 3C = 0 implies -tfrac23 - tfrac209 - 3C = 0 implies -tfrac269 - 3C = 0 implies C = -tfrac2627

Resposta

A solução particular da equação diferencial é
boxedyp(t) = -tfrac13,t^2 ;-;tfrac109,t ;-;tfrac2627

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