Encontre a solução do problema de valor inicial abaixo:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A equação que temos é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes:
Além disso, temos as condições iniciais:
Para resolver isso, vamos precisar conhecer como resolver equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes, usando a equação característica e aplicando as condições iniciais para achar os coeficientes da solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à nossa equação diferencial. Para uma equação da forma:
a equação característica é:
No nosso caso, temos:
Passo 3
Agora, resolvemos a equação característica:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Isso nos dá:
Os valores complexos indicam que a solução geral será de forma oscilatória.
Passo 4
Com raízes complexas $ r = \alpha \pm \beta i $, a solução geral da equação é:
No nosso caso, $ \alpha = 1 $ e $ \beta = 2 $, então:
Passo 5
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $. Vamos chamar $ t_0 = \frac{\bar{z}}{2} $.
Primeira condição:
Segunda condição:
Primeiro, encontramos a derivada de $ y(t) $:
Primeiro, encontramos a derivada de $ y(t) $:
Então, aplicando $ t = t_0 $:
Passo 6
Temos agora um sistema de duas equações:
A primeira equação já nos diz que $ C_1 \cos(2 t_0) + C_2 \sin(2 t_0) = 0 $. Podemos usar isso para simplificar a segunda equação.
Passo 7
Substituindo a primeira equação na segunda:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por 2:
Passo 8
Agora, temos:
Podemos resolver esse sistema multiplicando a primeira equação por $ \cos(2 t_0) $ e a segunda por $ \sin(2 t_0) $ e somando as duas para eliminar $ C_2 $, ou usar métodos de matriz. Para simplificar, vamos resolver diretamente.
Passo 9
Da primeira equação:
Então:
Substituindo na segunda equação:
Simplificando:
Sabendo que $ \tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} $:
Como $ \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1 $:
Então:
Passo 10
Usando $ C_1 = - C_2 \tan(2 t_0) $:
Agora temos $ C_1 $ e $ C_2 $.
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
Ou simplificando: