Encontre a solução do problema de valor inicial abaixo:
y^prime prime-2 y^prime+5 y=0
Com y(barz2)=0 in y^prime(barz2)=2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A equação que temos é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes:
y'' - 2 y' + 5 y = 0
Além disso, temos as condições iniciais:
y(barz2) = 0 e y'(barz2) = 2
Para resolver isso, vamos precisar conhecer como resolver equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes, usando a equação característica e aplicando as condições iniciais para achar os coeficientes da solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à nossa equação diferencial. Para uma equação da forma:
a y'' + b y' + c y = 0
a equação característica é:
a r^2 + b r + c = 0
No nosso caso, temos:
r^2 - 2 r + 5 = 0

Passo 3

Agora, resolvemos a equação característica:
r^2 - 2 r + 5 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
r = 2 pm raiz(-2)^2 - 4 cdot 1 cdot 52 cdot 1 = 2 pm raiz4 - 202 = 2 pm raiz-162
Isso nos dá:
r = 1 pm 2i
Os valores complexos indicam que a solução geral será de forma oscilatória.

Passo 4

Com raízes complexas $ r = \alpha \pm \beta i $, a solução geral da equação é:
r = alpha pm beta i
No nosso caso, $ \alpha = 1 $ e $ \beta = 2 $, então:
y(t) = e^alpha t ( C1 cos(beta t) + C2 sin(beta t) )

Passo 5

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $. Vamos chamar $ t_0 = \frac{\bar{z}}{2} $.
Primeira condição:
C1
Segunda condição:
Primeiro, encontramos a derivada de $ y(t) $:
C2
Então, aplicando $ t = t_0 $:
t0 = barz2

Passo 6

Temos agora um sistema de duas equações:
C1 cos(2 t0) + C2 sin(2 t0) = 0 C1 cos(2 t0) + C2 sin(2 t0) - 2 C1 sin(2 t0) + 2 C2 cos(2 t0) = 2e^t0
A primeira equação já nos diz que $ C_1 \cos(2 t_0) + C_2 \sin(2 t_0) = 0 $. Podemos usar isso para simplificar a segunda equação.

Passo 7

Substituindo a primeira equação na segunda:
0 - 2 C1 sin(2 t0) + 2 C2 cos(2 t0) = 2e^t0
Simplificando:
-2 C1 sin(2 t0) + 2 C2 cos(2 t0) = 2e^t0
Dividindo ambos os lados por 2:
- C1 sin(2 t0) + C2 cos(2 t0) = 1e^t0

Passo 8

Agora, temos:
C1 cos(2 t0) + C2 sin(2 t0) = 0 - C1 sin(2 t0) + C2 cos(2 t0) = 1e^t0
Podemos resolver esse sistema multiplicando a primeira equação por $ \cos(2 t_0) $ e a segunda por $ \sin(2 t_0) $ e somando as duas para eliminar $ C_2 $, ou usar métodos de matriz. Para simplificar, vamos resolver diretamente.

Passo 9

Da primeira equação:
C1 cos(2 t0) = - C2 sin(2 t0)
Então:
C1 = - C2 tan(2 t0)
Substituindo na segunda equação:
- (- C2 tan(2 t0)) sin(2 t0) + C2 cos(2 t0) = 1e^t0
Simplificando:
C2 tan(2 t0) sin(2 t0) + C2 cos(2 t0) = 1e^t0
C2 (sin(2 t0) tan(2 t0) + cos(2 t0)) = 1e^t0
Sabendo que $ \tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} $:
tan(theta) = sin(theta)cos(theta)
C2 ( sin(2 t0) cdot sin(2 t0)cos(2 t0) + cos(2 t0) ) = 1e^t0
C2 ( sin^2(2 t0)cos(2 t0) + cos(2 t0) ) = 1e^t0
Como $ \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1 $:
C2 cdot sin^2(2 t0) + cos^2(2 t0)cos(2 t0) = 1e^t0
Então:
sin^2(theta) + cos^2(theta) = 1

Passo 10

Usando $ C_1 = - C_2 \tan(2 t_0) $:
C1 = - C2 tan(2 t0)
Agora temos $ C_1 $ e $ C_2 $.

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
y(t) = e^t ( -sin(2 t0)e^t0 cos(2 t) + cos(2 t0)e^t0 sin(2 t) )
Ou simplificando:
y(t) = e^t - t0 ( -sin(2 t0) cos(2 t) + cos(2 t0) sin(2 t) )

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