Dê exemplos de sequências de números reais an e bn tais que:
an 0, bn +infty e an cdot bn 10
an 0, bn 0 e anraiz[3]bn 2
an 0, bn -infty e 15. an cdot bn 7
an 0, bn 0 e 6 cdot raizbn(an)^2 15

Passo 1

O enunciado pede pra gente dar exemplos de duas sequências reais an e bn que satisfaçam quatro diferentes combinações de limites envolvendo produto ou razão com raízes. O conteúdo é limites de sequências, e a gente vai usar escolhas simples do tipo an=c/n^p ou bn=c/n^q pra garantir que an tende a zero e bn tende a um valor (zero, infinito ou menos infinito) e, ao mesmo tempo, o produto ou a razão tenha o limite desejado.

Passo 2

Pra montar a primeira sequência com anto0, bnto+ fty e ancdot bnto10, basta pegar bn=n, que vai pra +infty. Daí a gente força ancdot nto10 escolhendo
an=tfrac10n. Fica claro que anto0 e an,bn=10.

Passo 3

Na segunda, queremos anto0, bnto0 e an/raiz[3]bnto2. Se a gente definir bn=1/n^3, então raiz[3]bn=1/n. A condição vira an/(1/n)to2, ou seja, an,nto2. Logo escolhemos an=2/n, que de fato vai a zero.

Passo 4

No terceiro caso, é parecido com o primeiro, só que agora bnto-infty e a gente quer an,bnto7. Pegando bn=-n, temos que escolher an de modo que ancdot(-n)=7. Assim,
an=-tfrac7n, o que tende a zero e faz o produto dar 7.

Passo 5

Por fim, para ter anto0, bnto0 e tfrac6raizbn(an)^2to15, a gente coloca bn=1/n^2, daí raizbn=1/n. A razão fica
6cdot(1/n)an^2=15. Resolvendo: an^2=tfrac615n=tfrac25n. Ou seja, basta usar an=raiztfrac25n.

Resposta

Uma escolha possível é:
  • Para anto0, bnto+infty e an,bnto10:
    an=tfrac10n, bn=n.
  • Para anto0, bnto0 e tfracanraiz[3]bnto2:
    an=tfrac2n, bn=tfrac1n^3.
  • Para anto0, bnto-infty e an,bnto7:
    an=-tfrac7n, bn=-n.
  • Para anto0, bnto0 e tfrac6raizbn(an)^2to15:
    an=raiztfrac25n, bn=tfrac1n^2.

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